excel函数培训 分类整合思想,,破解函数之利器

　　 分类与整合思想不仅是解决数学问题的常用方法，也是其他自然科学和社会科学研究的基本逻辑方法． 高考把对分类与整合思想的考查放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查．
　　设a>0，讨论函数f（x）=lnx+a（1－a）x2－2（1－a）x的单调性．
　　解析
　　′（x）=.
　　当a≠1时，方程2a（1－a）x2－2（1－a）•x+1=0的判别式Δ=12（a－1）a－.
　　①当00，f′（x）有2个零点，设为x1，x2（应写成a表示），且00（x>0），f（x）在（0，+∞）内递增；④当a>1时，Δ>0，f′（x）有2个零点，设为x1，x2，且x10.
　　（1）略；
　　（2）若在区间－，上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
　　变式解析
　　讨论a值得f（x）min的不同表达式，令f（x）min>0解得a.
　　点拨
　　例2及其变式解题的共同之处在哪里？它们为什么要分类讨论？如何进行分类讨论？
　　解后反思
　　例2是利用导数求函数在已知区间上的最值，这也是高考函数题中的重要题型之一.
　　例2的变式是关于不等式恒成立的问题，也转化为考查函数在已知区间上的最值.
　　因为参数不同，所求最值不同而引起讨论，讨论时按极值点与已知区间的位置关系进行分类.
　　已知a>0，且a≠1，函数f（x）=loga（1－ax）.
　　（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
　　（2）略；
　　（3）当a=e时，设h（x）=（1－ef（x））•（x2－m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及h（x）的极值.
　　解析
　　（1）（2）略；
　　（3）由（1）知f（x）的定义域为（－∞，0），h（x）=ex（x2－m+1）（x0，故h（x）无极值；②当00（以下略）.
　　（2０0８福建文）已知函数f（x）=x3+mx2+nx－2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f
　　′（x）+6x的图象关于y轴对称.
　　（1）求m、n的值及y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，求y=f（x）在区间（a－1，a+1）内的极值.
　　点拨
　　例3及其变式如何进行分类讨论？分析例3与例2解法的异同点.
　　解后反思
　　例3及其变式都是用求导及分类讨论的方法求函数的极值，由于函数含参数或定义域含参数而引起讨论.
　　例3与例2的相同点在于分类时都是讨论极值点与给定区间的位置关系，而区别在于最值除可能在极值点取得外，也可在区间端点取得.
　　已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y－3=0.
　　（1）求a，b的值；
　　（2）证明：当x>0，且x≠1时，f（x）>.
　　解析：（1）略.
　　（2）由（1）知f（x）=+，所以f（x）－=2lnx－，设函数h（x）=2lnx－（x>0），则h′（x）=
　　－，所以当x≠1时，h′（x）0，因此h（x）>0；当x∈（1，+∞）时，h（x）0，所以原命题成立.
　　（2011陕西文）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f
　　′（x）．
　　（1）略；
　　（2）讨论g（x）与g的大小关系（本小题解法与例4（2）类似）；
　　（3）略.
　　2010全国卷Ⅱ22（1）改编：设函数f（x）=1－e-x，g（x）=，比较f（x）与g（x）的大小.
　　点拨
　　分析例4及变式，它们应用了哪些数学思想方法？并说明用构造函数法解此类题的一般步骤.
　　解后反思
　　例4及其变式是证明含一元变量的不等式（或比较两个函数大小）的问题，应用了函数思想的思想方法，解决此类问题一般用构造函数法：作差（使不等式右边为0）→变形→构造新函数→求导→判断该函数单调性→讨论函数值的正负…
　　已知函数f（x）=ax++c（a>0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.
　　（1）用a表示出b，c；
　　（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
　　（3）略.
　　解析：（1）略；
　　（2）由（1）知，f（x）=ax++1－2a，令g（x）=f（x）－lnx=ax++1－2a－lnx，x∈［1，+∞），则g（1）=0.
　　g′（x）=.
　　①当01，若11，则g′（x）>0，g（x）是增函数，所以g（x）>g（1）=0，即f（x）>lnx.
　　综上所述，a≥.
　　（2011全国理）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y－3=0.
　　（1）求a，b的值；
　　（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围.
　　分析例5及其变式，此类题有共性吗？解法有共性吗？请比较例4、例5两类题解法的异同点.
　　解后反思
　　例5及其变式是一类题型：把问题转化为已知一个含参数的一元不等式恒成立，求参数的取值范围.
　　这类题解法的一般步骤是：作差（使不等式右边为0）→变形→构造新函数→求导数→讨论该函数的单调性→讨论函数值的正负（或求函数的最值（或确界），令最值（或确界）与0满足一种大小关系）→确定参数取值范围.
　　此类题中有些题解法不唯一.
　　在高三复习的最后阶段，我们可采取类比同类问题的解法、归纳解题规律的方式，此法可使我们的复习事半功倍.