初中数学教材人教版【由教材一道例题教学引发的思考与探讨】

　　在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中，教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨. 　　例2的问题（1）是这样的：如果=，那么=. 　　证明：因为=，在等式两边同加上1，
　　得+1=+1，所以=.
　　学生提问1：前面刚学了比例的基本性质，为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢?
　　教师思考1：学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式：学生学到一个知识后就会马上去应用，在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动.
　　证明：因为=，所以ad=bc，在等式两边同加上bd，
　　得ad+bd=bc+bd，即（a+b）d=（c+d）b，
　　两边同时除以bd，即得=.
　　这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”，这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样，结果让学生适得其反，理解不到位，容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关.
　　学生提问2：为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢?
　　教师思考2：在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法，学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”?
　　经过仔细的思考与对比发现，事实上其实质是：此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下是用“分析法”进行的证明.
　　证明：要证=，只要证+1=+1，
　　即证=，而=是已知成立的，所以=.
　　在此基础上，反过来用综合法写出证明过程就是上述教材中的证明过程了.教材中的方法也就是常见的“构造法”证明.在实际教学中学生普遍感到较难理解，不容易掌握.这就要求我们在实际的教学中深入到学生的学习实际，深化对学生知识水平的理解，争取做到让学生认为本题所采用的方法是水到渠成的事.
　　引申与探讨：本题的解法中，实际上还可以有一种更常用、更普遍采用的解法，即设“比例的比值为k”.
　　证明：设==k，则a=bk，c=dk，
　　所以===k+1，
　　===k+1，
　　所以=.
　　在教学中，教师要能让学生自己分析对比出各种证明方法的优劣，并能深刻理解与领会.这样才能促使学生提高思维的灵活性与深刻性，也就培养了学生的思维品质与个性发展.
　　现在来看例2的问题（2）：如果=，那么=.
　　证明：因为=，所以ad=bc，在等式两边同加上ac，
　　得ad+ac=bc+ac，所以ac-ad=ac-bc，
　　两边同除以（a-b）（c-d），得=.
　　学生提问3：学生小组讨论后，一位同学提出：若a=b=3，c=d=4，则要证明的式子的分母a-b与c-d就没有意义了!
　　教师思考3：这位同学思考的问题不无道理呀!问题出在哪呢?
　　经过仔细思考之后，发现在证明过程中，两边同时除以（a-b）（c-d），存在一定的问题.根据等式的基本性质，等式的两边同时除以一个不为0的数，左右两边的值相等，而题目中并未给出（a-b）（c-d）的值不为0的条件.因此，给合本节课的内容，在此应补充已知条件：a、b、c、d是互不相等的四个实数，这样就可以证明成立.
　　当然，本题除了用课本的“等式的性质”证明外，也可用设“比例的比值为k”这种方法.
　　证明：设==k则a=bk，c=dk，
　　所以===，
　　===，
　　所以=.
　　此例题主要是为了让学生学会运用比例的基本性质证明等式成立，但在教材中存在对例题选用的证明方法理解不够深入，所选用方法不太符合学生的认知水平和能力的问题，例题条件考虑不够周全，应补充合适的条件使其完善.
　　这样在接下来的配套练习第3题中，就可以把更多的方法通过学生的交流与探讨进行综合提升，自然过渡到位.
　　配套练习第3题：已知=，那么，各等于多少?
　　交流与探讨：通过前面例题的交流探讨之后，各位同学思维活跃，气氛热烈.各小组成员广开思路，汇总后得出了以下三种不同的解法.
　　方法1：（特殊值法）令a=3，b=2，则=，=3.
　　方法2：“代入法”由=，得a=b，
　　所以===，===3.
　　方法3：由=，设a=3k，b=2k，
　　所以===，===3.
　　可以看出，方法1实际上是方法3的特例.可以引导学生发现做选择题与填空题时常用方法1.
　　通过以上例题与练习的方法归纳与总结，学生探讨分析出了解决此类问题的常见思路.教师接下来可顺势让他们总结各种方法在计算题与证明题中的运用，发现其规律与特点，进一步提升学生思维灵活性，深化学生对所学知识的综合运用能力.这个教学过程解决了在以往教学中学生学习此类知识与方法不易突破的难点，取得了良好的效果，同时也激发了学生的求知欲，提高了学生质疑与释疑的能力，让他们有一种“不唯书”的精神与勇气.
　　（责任编辑：王钦敏）