[如何在数学解题教学中培养学生的发散思维能力]四年级上册数学题100道

　　从近年一些中考试卷来年，许多试题立意新颖、设计巧妙，特别是其中形式多样的创新性题型，在设计情景、设问方式等方面都有新的突破，在基本知识和技能、创新素质和探索能力的考查方式上也有新的拓展．中学数学大纲明确指出：“培养学生数学能力的核心是数学思维能力的培养．”就当前中学数学教学现状而言，我们特别要重视发散思维能力的培养，应在教学中抓住例、习题的可变性，挖掘教材问题的可变价值，有效地对学生进行发散思维的训练．
　　发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维．它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法．发散思维有助于让人提出新问题，探索新知识，发现多种解答和多种结果，它的特点是思路广阔、寻求变异，下面就数学课堂教学中培养学生的发散性思维能力问题谈几点看法：
　　 一、一题多解――诱发学生求异思维，突破思维定势
　　传统数学多侧重于收敛思维的教学，有些教师在教学中，热衷于教学生背、记公式和题型，忽视知识、方法的灵活运用，这样会使学生的定向思维训练过多，造成思维定势，影响思维灵活性，在解决非常规的探索性、开放性试题时束手无策．全日制义务教育数学课程标准第三阶段（7-9年级）学段目标明确指出：尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异．教学中提倡一题多解，可以让学生多途径认识事物本质，多角度思考问题，不但激活了与问题有关的各知识点的联系，而且开阔了解题思路，培养了灵活运用知识解决问题的能力，促进了学生发散思维的发展．
　　例1．巳知：如图，D、E在△ABC边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=EC.
　　分析1：此题出现在学生刚学完三角形全等判定方法之后，易受满足任意三个相等条件判定三角形全等的定势思维影响，而这种思维是片面的错误的．比如，有些同学由AB=AC得到∠B=∠C，联系条件AB=AC，AD=AE得到△ABD≌△ACE后即推出结论．
　　分析2：此题不利用“SSS”判定，其余判定方法均可，借此例可以回顾全等三角形判定方法的应用．
　　证法1：由AB=AC，AD=AE可得∠B=∠C，∠1=∠2，由三角形的外角性质可证得∠3=∠4，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=EC.
　　证法2：由证法一可知∠3=∠4，∠B=∠C，又∵AB=AC，故△ABD≌△ACE（ASA）.
　　证法3：可证∠5=∠6，再证△ABD≌△ACE（AAS）.
　　分析3：可引导学生添加辅助线，通过不证三角形全等解决问题．让学生应用等腰三角形三线合一的性质．
　　证法4：如图，过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，AD=AE，AF⊥BC，∴BF=FC，DF=EF，∴BD=EC.
　　证法五：作△ADE底边中线或顶角平分线也可证明．
　　一题多解有助于牢固掌握所学知识，通过解法比较可以寻找到解题的最佳途径和方法，其关键是分析题目，把新旧知识融汇贯通，广开思路．
　　 二、一题多变――激发学生大胆联想，培养探索、创新能力
　　数学试题千变万化，因此教师在课堂教学中经常进行“一题多变”，引导学生大胆联想，积极创造，可以使学生在变换中看到所学知识的联系，激发学习积极性、趣味性，培养学生探索创新能力，防止就题论题、呆板僵化的思维方式.通过变式教学，还可以让学生从不同侧面加深对问题本质的认识，是培养发散思维能力很好的途径．采用一题多变的教学模式，能培养学生多思多问，自主探索的习惯，还能启发学生创新思维，培养学生敏锐的观察力和积极的求异思维，不失为一种有效的教学手段．
　　①条件不变，推广结论
　　例2．如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°.求证：
　　（1）△PAQ∽△BPR；
　　（2）AQ•RB=QR2.
　　对这个问题，可以进行引申得到变形题：（3）找出图中所有相似三角形；（4）求证：=.
　　这种变形，是让原命题的条件不变，经演绎推理获得新的结论，属常见的引申方法．
　　②结论不变，改造条件
　　例3．如图，已知B、C是∠A一边上的两点，D、E是∠A另一边上的两点，且AB•AC=AD•AE．求证：∠ABD=∠AEC．
　　变形题：已知：B、C是∠A一边上的两点，D、E是∠A另一边上的两点，应满足什么条件可使得∠ABD=∠AEC．
　　这种变形，可先探求与结论等价的条件，然后代换原题中的相应条件．
　　由此可见，一题多变不但活跃学生思维，激发学生探索求知精神，开拓了视野，而且使学生思维充分发散，提高了学生分析问题、解决问题能力，避免题海战术，优化课堂教学，真正把教师与学生从题海中解放出来，减轻教与学的沉重负担．
　　 三、一法多用――掌握重要知识点和思想方法，培养思维渗透性和变通性
　　数学题型种类繁多，解题时经常应用同一知识点或思想方法解决各种不同的题目，就会在综合化归的过程中增强思维的渗透性和变通性．
　　例4．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是多少？
　　略解：∵菱形ABCD关于对角线AC对称，
　　∴B、D两点关于AC对称，
　　∴连结DE、DP，则PE+PB=PE+PD≥DE（D、P、E这三点共线时等号成立），又由条件可得△ADE是直角三角形，
　　∴DE===，
　　∴PE+PB的最小值是.
　　变式1：如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？
　　变式2：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为多少？
　　（变式1、2的解题思路同例4）
　　例5．复习一元二次方程根与系数关系定理时，让学生归纳知识点可渗透到哪些知识领域解决问题．
　　①已知方程某一根，不解方程可求另一根及有关字母系数的值．例：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
　　②已知方程，求两根的和与两根的积表示的代数式的值．例：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两个根的（1）平方和；（2）倒数和.
　　③已知方程两根之和与两根之积，求作这个一元二次方程．例：已知方程x2-2x-1=0，利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.
　　④和根的判别式结合，可判别两根的符号．
　　⑤利用根与系数的关系解决二次函数图象与x轴交点问题.
　　……
　　通过课堂教学及时归纳重要知识点和思想方法的各种应用，能够形成放射状问题链，极大地丰富学生的知识面，拓展学生的思维空间，使学生思维得以发散，增强思维的渗透性和变通性．教师在课堂教学上采用一法多用的训练时要善于抓住问题的规律和事实，让学生深入思考各种问题，提高其对同一知识点的综合应用能力，让解题方法得以分门别类，思维更加深刻、广阔．加强一法多用的训练，有利于拓展学生的数学思维空间，也是培养和提高学生发散思维的有效途径．
　　结束语：“一题多解”是命题角度集中、解法角度发散．“一题多变”是命题条件和命题结论分别发散．“一法多用”是命题角度发散，运用知识点和思想方法集中．教师应将三者贯穿于平时课堂教学中，锻炼开放式的求异创新能力，进而活跃和培养学生的发散性思维．
　　（责任编辑：王钦敏）