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戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 DSM 金牌高三数学 幂函数与二次函数 1．幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα(α∈ R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α 为常数． 2．幂函数的图象 1 在同一平面直角坐标系下，幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 ，y＝x 3．幂函数的性质 －1 的图象分别如右图． y＝x y＝x2 y＝x3 1 y＝x 2 y＝x －1 定义域 值 域 R R 奇 R [0，＋∞) 偶 x∈ [0， ＋∞)时， R R 奇 [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 {x|x∈ R 且 x≠0} {y|y∈ R 且 y≠0} 奇 奇偶性 单调性 增 增 x∈ (－∞， 0]时， 减 增 增 x∈ (0，＋∞)时，减 x∈ (－∞，0)时，减 定点 4.二次函数的图象和性质 解析式 (0,0)，(1,1) (1,1) f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 第1页 共7页 戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b ，＋∞? ? 4a ? 2 ?－∞，4ac－b ? 4a ? ? 2 单调性 ?－ b ，＋∞?上单调递增 在 x∈ ? 2a ? ?－∞，－ b ?上单调递增 在 x∈ 2a? ? ?－∞，－ b ?上单调递减 在 x∈ 2a? ? ?－ b ，＋∞?上单调递减 在 x∈ ? 2a ? 奇偶性 顶点 对称性 当 b＝0 时为偶函数，b≠0 时为非奇非偶函数 ?－ b ，4ac－b ? 4a ? ? 2a b 图象关于直线 x＝－ 成轴对称图形 2a 2 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 考向一 二次函数的图象及解析式 )． 例 1 设 abc＞0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 第2页 共7页 戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 2．已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈ [0,1]时有最大值 2，则 a 的值为________． 拓展变式练习 1、已知二次函数 f(x)的图象如图所示，则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( )． 2、若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式 f(x)>2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 第3页 共7页 戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 考向二 二次函数的性质 例 2 函数 f(x)＝x2－2x＋2 在闭区间[t，t＋1](t∈ R)上的最小值记为 g(t)． (1)试写出 g(t)的函数表达式； (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值． 拓展变式练习 1、已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈ [－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值． (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 2、若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式 f(x)>2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 第4页 共7页 戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 考向三 幂函数的图象和性质 － 1、已知幂函数 f(x)＝x(m2＋m) 1(m∈N*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围． 1 1．已知幂函数 f(x)＝xα 的部分对应值如下表：

x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A．{x|0<x≤ 2} C．{x|－ 2≤x≤ 2} ) B．{x|0≤x≤4} D．{x|－4≤x≤4} 1 1 1 2 2 2 2．已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( ) 1 3．已知 f(x)＝x 2 ，若 0<a<b<1，则下列各式中正确的是( 1? ?1? A．f(a)<f(b)<f? ?a?<f?b? 1? ?1? B．f? ?a?<f?b?<f(b)<f(a) 1? ?1? C．f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a? 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 ) 第5页 共7页 戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 1? ?1?<f(b) D．f? <

f ( a )<

f a ? ? ?b? 4．已知 f(x)＝x2＋bx＋c 且 f(－1)＝f(3)，则( 5? A．f(－3)<c<f? ?2? 5? C．f? ?2?<f(－3)<c ) 5? B．f? ?2?<c<f(－3) 5? D．c<f? ?2?<f(－3) ) 5．设二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 在区间[0,1]上单调递减，且 f(m)≤f(0)，则实数 m 的取值范围是( A．(－∞，0] C．(－∞，0]∪ [2，＋∞) B．[2，＋∞) D．[0,2] ) 6．方程 x2＋ax－2＝0 在区间[1,5]上有解，则实数 a 的取值范围为( 23 ? A.? ?－ 5 ，＋∞? 23 ? C.? ?－ 5 ，1? B．(1，＋∞) 23? D.? ?－∞，－ 5 ? 1 7．对于函数 y＝x2，y＝x 有下列说法：

2 ① 两个函数都是幂函数； ② 两个函数在第一象限内都单调递增； ③ 它们的图象关于直线 y＝x 对称； ④ 两个函数都是偶函数； ⑤ 两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥ 两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________． 8、已知函数 f(x)＝x2＋bx＋1 是 R 上的偶函数，则实数 b＝________，不等式 f(x－1)<x 的解集为________． 9、若 x≥0，y≥0，且 x＋2y＝1，那么 2x＋3y2 的最小值为________． 10、如果幂函数 f(x)＝x 解析式． － 1 3 2 2 p ＋p＋ 2 (p∈ Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求 p 的值，并写出相应的函数 f(x)的 11、已知二次函数 f(x)的图象过点 A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)． 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 第6页 共7页 戴氏教育集团 西安戴氏高考中考培训中心临潼总校 西安戴氏名师中心 高三数学 王老师 (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在 x∈ [0,3]上的最值； (3)求不等式 f(x)≥0 的解集． 12、已知函数 f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5，最小值 2. (1)求 a，b 的值； (2)若 b<1，g(x)＝f(x)－m· x 在[2,4]上单调，求 m 的取值范围． 数学，能数数的都能学！ 戴氏王老师 第7页 共7页 

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高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”. 如:集合A ? ?x| y ? lg x?,B ? ?y| y ? lg x?,C ? ?(x, y)| y ? lg x?,A、B、C 中...

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