用初等数学评析2011年福建高考理综试卷第22题 高观点下的初等数学

　　2011年，福建省高考理综卷第22题情境较为新颖，原题如下： 　　22．（20分）如图甲，在x＞0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B．一质量为m，带电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O处，以初速度ν0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力．
　　（1）求该粒子运动到y=h时的速度大小ν；
　　（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T=．
　　Ⅰ．求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离S；
　　Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为ν0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay，并写出y-t的函数表达式．
　　试题公布后，中学物理教学界对该题的讨论很多，主要围绕三个问题：①该题中的带电粒子垂直入射正交的电磁场后做何运动，能否用初等数学进行分析；②初速度大小不同粒子的运动轨迹（y-x曲线）是否如原题中图乙所示，能否用初等数学进行分析；③本题作为压轴题利弊如何．针对以上三个问题，谈谈笔者的看法．
　　 一、粒子入射后做何运动
　　要知道粒子入射后做何运动，一般方法是对粒子进行受力分析，再求合力，列牛顿方程，其后解方程求出粒子的速度和位移，但这一方法对于本题是有困难的，原因是电场力、洛伦兹力与粒子速度相互牵制，使牛顿方程的求解变得复杂．如果，我们能将电场力与洛伦兹力分割开，使两者互不干扰，这一问题就会变得柳暗花明，具体如下：
　　a．将粒子的入射初速度ν0看成由两个分速度ν10、ν20合成的，且ν10、ν20的方向均与ν0同在x轴上．即：ν0=ν10+ν20 ……①
　　b．选取ν10的方向沿x轴正方向，大小为：ν10=……②
　　c．粒子以ν10、ν20两个分速度入射复合场后，受ν10、ν20对应的洛伦兹力fB1、fB2及电场力FE的作用（如图1），我们将这五个决定粒子运动状态的因素ν10、ν20、fB1、fB2、FE分成两组．
　　第一组：粒子的初速度ν10及其对应的洛伦兹力fB1和电场力FE．当粒子仅在这三个因素影响下，因其此时所受合力F=fB1-FE
　　=Bqν10-qE=Bq-qE=0，粒子的加速度a=0，此时粒子以ν10=的速度沿x轴方向做匀速直线运动．其运动速度及位移在坐标轴x、y上的投影为：
　　νx1=ν10 ……③x1=•t ……④νy1=0 ……⑤y1=0 ……⑥
　　第二组：粒子的初速度ν20及其对应洛伦兹力fB2，当粒子仅在这两个因素的影响下，其运动为匀速圆周运动，fB2提供向心力，匀速圆周运动线速度大小为ν20，即：
　　Bqν20=m
　　据上式可求得圆周运动的半径r及周期T为：
　　r=……⑦
　　T=……⑧
　　将这一圆周运动在x、y轴上投影（如图2）为：
　　νx2=ν20 cosωt ……⑨x2=rsinωt ……⑩νy2=ν20 sinωt ……y2=r（1-cosωt） ……
　　d．根据运动的独立性原理：物体在许多因素共同作用下的运动，可以看成由各因素独立作用下的分运动的合运动．据此，本题中粒子的真实运动可以看成由上述第一组的直线运动和第二组的匀速圆周运动这两个分运动叠加而成，叠加后合运动的速度及位移在x、y轴上投影为：
　　νx=νx1+νx2=+ν20cosωtx=x1+x2=•t+rsinωtνy=νy1+νy2=ν20sinωty=y1+y2=r（1-cosωt）
　　将①、②、⑦、⑧代入得：
　　综上可见，像本题中的带电粒子垂直入射正交的电磁复合场后，粒子会绕沿入射方向匀速前进的圆心C做匀速旋转．（如图3）
　　两式显示，粒子在x轴上的运动为匀速直线运动和简谐运动的叠加，类似于固定在沿x轴匀速行驶的小车上振动着的弹簧振子相对地面的运动（如图4）．显示粒子在y轴上的运动为简谐运动，且周期T=．
　　 二、粒子的运动轨迹是否如原题中图乙所示
　　一般说，要了解粒子的运动轨迹，可求出其轨迹方程（y-x方程）．但本题中，要由两式消去参数t是有困难的．不过，通过对－式的分析，仍然可以看出粒子的运动轨迹会随ν0的大小改变而改变，轨迹形状不完全如原题中图乙．
　　1．当ν0=时，由式得：y=0；由式得：x=t．此时，粒子沿x轴做匀速直线运动，其轨迹为沿x轴的一条直线．（此时第二分运动的圆周半径为零）
　　2．当＜ν0≤时，从式可见，粒子在y轴上做来回往复的运动；由式可见，无论t为何值，均有νx≥0，这说明，粒子一直保持向右移动，其轨迹形状应是一条从0点开始一直向右延伸，且在延伸中上下波动的曲线，具体图像如图6．与原题中图乙第一象限中的图线相似．
　　3．当ν0＞时，从式可见粒子在y轴方向做简谐运动，由式可见，t在某些时段，可以使νx=+（ν0-）cos（t） ＜0，而νx＜0时，意味着粒子会往左回拐，粒子在运动中时而向右，时而向左，上下方向又做波动，其轨迹形状应为螺旋状，不可能如原题中图乙所示．
　　不仅如此，从式可见，当ν0足够大时，t在某些时段，可使：x=t+（ν0-）sin（t）＜0，而x＜0意味着粒子飞离y轴右边的电、磁场区域，粒子的轨迹不可能如原题图乙所示，也不可能具有空间周期性．我们还可这样考虑，当ν0足够大时，粒子所受的洛伦兹力也足够大，使得Bqν0>>Eq，以至电场力可以忽略不计，这时，粒子所做的运动接近只受洛伦兹力作用下的圆周运动，粒子也就会在t略超于T/2时飞出y轴右边的电、磁场区域．
　　到底ν0何值时，可使x＜0呢？为研究这一问题，我们先依式，粗略画出x随t的变化图线如图5．
　　从图5可见，x随t显周期性变化，其周期与第二分运动的周期T相同．当t∈（，）时，x有最小值xmin，为方便，记x=xmin时t的值为t0，有t0=（+ζ）T……（其中0＜ζ＜）
　　当x=xmin时，νx＝0，由式得：
　　cos（t0）=-……
　　为方便，记ν0=（1+δ）E/B……
　　将式代入式得：cos（t0）=-……
　　将⑧代入得：cos（2πζ）=……
　　当xmin=0时，粒子刚好可以拐回y轴，由得：
　　t0+（ν0-）sin（t0）=0
　　将⑧代入上式得：
　　（+ζ）+δsin［2π（+ζ）］=0
　　即：2πζ=-π ……
　　将代入得：cos=- ……
　　下表为δ取不同几个值时，左右两边的值的比较：
　　可以看出式有两个大约的根：δ1≈2.26，δ2≈4.60将δ1、δ2代入式，求解ζ对应值X0如下：
　　因为ζ=0.22时，符合式的0 　　4.当0＜ν0＜时，由①②可见，ν20=ν0－ν10＜0，第二分运动的初速度方向沿x轴负向，其圆周运动的圆心在x轴下方．粒子在0点附近时，因受到的合力向下，轨迹的曲率半径的中心应在x轴下方，轨迹在0点附近的形状应向上凸起，而不是象原题图乙中的向下凹．（如图9）
　　5.为了让大家信服以上分析，我们依两式，用描点法画出不同ν0值下的轨迹图线．
　　画图时，取时间t每变化，相角t每变化描一点，即：t=n=（n∈N），相角t=将上面两式及式代入得：
　　x=n（）+（）sin（n）……
　　y=（）［1-cos（n）］……
　　取S0=……为坐标轴单位长度．
　　①当取ν0=1.52E/B时，由式得，此时δ=0.52，≈1．式为
　　x=nS0+S0sin（n）y=S0［1-cos（n）］
　　n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图6
　　②当取ν0=2.52E/B时，由式得，此时δ=1.52，≈3．式为
　　x=nS0+3S0sin（n）y=3S0［1-cos（n）］
　　n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图7
　　③当取ν0=6.23E/B时，由式得，此时δ=5.23，≈10．式为
　　x=nS0+10S0sin（n）y=10S0［1-cos（n）］
　　n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图8
　　④当取ν0=0.48E/B时，由式得，此时δ=－0.52，≈-1．式为
　　x=nS0-S0sin（n）y=-S0［1-cos（n）］
　　n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图9
　　6．概括地说：①ν0=时，粒子的轨迹为沿x轴的一条直线．
　　②≥ν0＞时，粒子的运动轨迹如原题中图乙第一象限的图线所示．也如本文图6所示．
　　③当≥ν0＞时，粒子的运动轨迹如本文图7所示．
　　④当ν0＞时，粒子的运动轨迹如本文图8所示，粒子在电磁场中运动不到一周期的时间就会飞到y轴左边．轨迹没有空间周期性．
　　⑤当ν0＜时，粒子的轨迹会落在y-x坐标空间的第四象限，但轨迹凹凸形状与原题图乙中第四象限的图线有所不同．
　　 三、本题作为高考题的利弊
　　考后分析，本题的难度系数为0.1，多为第一步得分．全省近15万理科考生，只有大约60个同学得分超过18分．考后调查，较好同学多因对试题的正确性表示疑问，将宝贵的考场时间用于对试题提供的条件进行证实．中等及以下同学看不懂试题的意思．我们认为，本题有以下特点：
　　1.新颖性
　　作为每份高考卷必有的带电粒子在电、磁场中运动的试题，本题的情景的确让人耳目一新，对于考查学生创新应用能力是十分有益的．
　　2.有悖科学性，影响考试信度
　　本题所给的粒子运动轨迹有局限，对初速度的大小又没有界定，影响优秀考生的思维判定，对学生答题造成负面干扰，严重影响考试信度．
　　3.偏重技巧考查
　　本题第（1）问的解只须应用动能定理，知道电场力、洛伦兹力做功的特点即可；第（2）问第一步要求学生将ν0=时，粒子做直线运动归并为ν0≠时，粒子做周期性曲线运动的一种特例，并由此推出一周期内的水平位移S，这在不理解粒子所做曲线运动特点的情况下（显然，命题者并不要求学生理解粒子曲线运动的特点）是很难的，也是草率和牵强的，有“偏”的嫌疑．第（2）问第二步，学生若能抓住简谐运动的回复力的大小的对称性即可求得，并不要求学生分析粒子详细的运动过程．而关于简谐运动回复力的考试要求只限Ⅰ级，本题显然偏难，可见，本题重在考查技巧，对中学物理的主流知识（如牛顿定律，圆周运动）及主流能力（如分析推导能力）的考查较弱，尤其把该题放在全卷的角度来看，更显轻重偏颇．
　　（责任编辑：陈巧云）