行列式的计算方法,四阶行列式的计算方法,行列式的计算方法汇总,行列式的计算方法小论文

南京林业大学 本科毕业设计(论文)题 目: N 阶行列式计算方法探索 学 院: 理 学 院 专 业: 信息与计算科学 学 号: 学生姓名: 指导教师: 职 称: 讲 师 二 O 一 三 年 五 月二...

行列式的计算方法 行列式计算方法总结及简单应用 摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。并举 出了几种常见的行列式应用。

关键词：排列 行列式 行列式计 行列式计算的基本方法： 基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法等 1、利用行列式的性质计算 例 1：

一个 n 阶行列式 Dn ? aij 的元素满足 aij ? ?a ji , i, j ? 1, 2, , n, 则称 D n 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零. 证：由 aij ? ?a ji 知 aii ? ?aii ，即 aii ? 0, i ? 1, 2, 故行列式 D n 可表示为 0 ?a12 Dn ? ?a13 ?a1n a12 0 ?a23 ?a2 n a13 a23 0 ?a3n a1n a2 n a3n ， 由行列式的性质 A ? A? ， 0 ,n 0 a12 Dn ? a13 a1n = (?1) n Dn ?a12 0 a23 a2 n ?a13 ?a23 0 a3n ?a1n ?a2 n n 0 ?a12 a12 0 ?a23 ?a2 n a13 a23 0 ?a3n a1n a2 n a3n 0 ?a3n ? (?1) ?a13 0 ?a1n 当 n 为奇数时，得 Dn = Dn ，因而得 Dn = 0. 2、 化三角形法 此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角 形行列式之积， 所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行 列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线 上元素之积， 涉及次对角线的 n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符 号 例 2 计算 n 阶行列式 Dn ? a b b b a b b b a ? b ? 0 ? ? ? a ?b 解： 1 b ? b 1 b 1 a ? b 0 a?b Dn ? ?a ? ?n ? 1?b? ? ?a ? ?n ? 1?b? ? ? ? ? ? ? 1 b ? a 0 0 ? ?a ? ?n ? 1?b?(a ? b) ( n?1) 3、代数余子式法 在一个 n 级行列式 D 中 , 把元素 aij 所在的行与列划去后，剩下的 (n ? 1) 2 个元素按照原来的次序组成的一个 (n ? 1) 阶行列式 M ij , 称为元 aij 的余子式， M ij 带上符号 (?1) (i ? j ) 称为的 aij 代数余子式 , 记作 Aij ? (?1) (i ? j ) M ij 定理 1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即 D ? a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? ? ? aij Aij ? ?ann Ann ? ? aij Aij j ?1 n 证：先证特殊情况元素 a11 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零; a11 D? a21 an1 0 a22 an 2 0 a2 n ann ? ? (?1)? ( j1 j2 j1 ?1 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn ?? (?1)? ( j1 j2 j1 ?1 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn ? a11 ( j2 j3 ? (?1)? ( j2 jn ) jn ) a2 j2 anjn ? a11M11 而 A11 ? (?1)1?1 M11 ? M11 ,故 D ? a11 A11 ; a11 （2） D ? 0 a1 j aij anj a1n 0 ann an1 将 D 中第 i 行依次与前 i ? 1 行对调，调换 i ? 1 次后位于第一行;

将 D 中第 j 列依次与前 j ? 1 列对调，调换 j ? 1 次后位于第一列;

经 (i ? 1) ? ( j ? 1) ? i ? j ? 2 次对调后， aij 就位于第一行、第一列，即 D ? (?1)i ? j ?2 aij M ij ? (?1)i ? j aij M ij ? aij Aij . (3) 一般地 a11 a12 ? 0 0 ? ai 2 ? an 2 a1n a11 a12 ai 2 an 2 a1n 0 ? ann ?0 0? a1n ? 0 ? ain ann a11 ? 0 an1 a12 0 an 2 a1n ain ann D ? a i1 ?0 ? an1 a11 ? a i1 an1 a12 0 an 2 0 ? 0 ann an1 ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ain Ain 同理有: D ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? ? ? anj Anj . a?b 0 0 a ?b 0 a ?b a ?b 0 例 3 计算四阶行列式 D4 ? . 0 a ?b a ?b 0 a ?b 0 0 a?b 证: 按第 1 行展开，有 a ?b a ?b D4 ? (a ? b)(?1) 1?1 0 1? 4 0 a ?b a ?b a ?b a ?b 0 ? (a ? b)(?1) 0 0 a?b 0 a ?b a ?b , a ?b 0 0 对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得 D ? [(a ? b)2 ? (a ? b)2 ] a ?b a ?b ? 2 4 a 2b 2 . a ?b a ?b 4、范德蒙得行列式法 根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互 换两行（列） ；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的 或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种 .这种变形法是计算行列式最常用的 方法. 1 x1 ? 1 1 x2 ? 1 x ? x2 2 2 n ?1 n?2 x2 ? x2 1 xn ? 1 2 xn ? xn 例1 计算行列式 D ? x ? x1 2 1 x1n ?1 ? x1n ? 2 n ?1 n?2 xn ? xn 解 把第 1 行的－1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的－1 倍加到第 3 行， 以此类推直到把新的第 n ? 1 行的－1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式 1 x1 D? x 2 1 1 x2 x 2 2 1 xn 2 xn ? n ?i ? j ?1 ? ( xi ? x j ) x1n ?1 n ?1 x2 n ?1 xn 参考文献 [1] 蒋省吾． 杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10 [2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996. [3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989. [4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育 出社,2003. [5] 同济大学数学教研室． 工程数学线性代数(第三版) [M]． 北京：

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行列式的计算是学习高等代数的基石，它是求解线性方程组，求逆矩阵及求矩阵特征值的基础，但行列式的计算方法很多，综合性较强，在行列式计算中需要我们多观察总...

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