2016福建高考数学试卷【2011届福建高考数学试卷简析】

　　2011年福建省高考数学试卷以《课程标准》为指南，以《考试大纲》《考试说明》为依据，顺应高考命题改革的方向，系统、全面、科学地考查了基础知识、基本技能、基本思想方法和基本数学应用，同时也有效地考查了学生可持续发展的数学素养和学习潜能．试卷注重对数学本质理解的考查，注重对空间想像能力、直觉思维能力、数据处理能力、阅读解构能力、应用创新意识和数学素养、学习潜能、逻辑推理、方法迁移的考查，强调了层次间的区分，淡化了层次内的选拔.试题立意朴实清新，呈现大度大气，选材随时合境，解法自然普适，卷面合谐流畅，实现了为高校录取新生提供有效支持的区分功能和指导、促进、深化数学课程改革的功能．
　　 一、试题试卷简析
　　1.朴素大气不失功力
　　试卷的命制可谓大胆探索、不落俗套；试卷试题可谓朴素大气、简约清新；命题者可谓有胆有识、不失功力．全卷较充分地体现了基础教育、数学基础教育的素质教育观，体现了数学基础教育要回归朴素、大气、简约而又不失学科内含的生动、活泼、丰富、有趣的价值追求．从选材、组题、呈现方式、解题方式到交汇综合方式均立足基础、强调通法、注重本质、自然大方、贴近学生实际，而又不乏新意，可谓细致细腻，有相当的亲和力．阅读量、思维量、计算量等均与考生平日所见、所思、所算的相匹配，相当部分试题远低于学生在冲刺、强化训练阶段的难度．几乎所有试题都是以简约、流畅、平和的方式呈现，做到让考生能够在“似曾相识”的考试情境中以稳定的情绪正常发挥．试卷在不失学科内涵、思想内涵和方法内涵的同时，想给的给到，要考的考到，不规避、不刻意求新、不人为设障．让学生强烈感受到了试题试卷及数学的简约、清新之美．
　　2.热点重点尽显活力
　　试卷对应用和创新意识等热点内容的考查，注重公平公正的载体和背景的选用，注重位置和内容的调配，做到了适时适量，恰到好处；对综合能力和方法的考查，凸显了其所在学科分支蕴含的突出的、典型的与通适的视角、方法、策略，体现了其学习、研究中过程性、探究性、教育性的价值取向和内容活力．如理科第9、10、13、15、18、19、20题和文科第4、5、12、16、19、20、21、22题的呈现方式、设问方式、解题方式、开放、探究、发散的特征均为例证．
　　试卷对一般的数学素养、深层的学习潜能亦有所思考，适时、适量、适度、全面地渗透考查了心算、估算、归纳猜想、合情推理、阅读解构、理性思维和学习迁移的能力，旨在落实课标理念，以考促教促学，实现教与学的升华，提升教学活力．理科试卷中第9、10、11、15、18、19、20题和文科试卷中第4、5、11、12、16、19题等就是出于这一思考．
　　3.基础主干凸显张力
　　试卷较为全面地考查了考试说明中要求的内容，对各分支、章节均有所涉猎，并保持合适的比例．理科试卷第1至8题、第11、12、13、14题和第16、17、18、19、20、21题的第一问，文科试卷中第1至11题及第13、14、15、17、18、19、20、21、22题的第一问均为基础题、常规题，体现了注重基础的命题理念．
　　试卷对支撑中学数学学科的八大主干内容（函数、导数、解几、立几、统计概率、数列、不等式、平面向量）的考查占全卷的90%左右，考点突出，布局合理，且进行了不同题型、不同层次、不同难度的综合，进行了自然合理、贴切融洽的交汇．试题淡化特殊技巧，注重通性通法，注重背景设计和语言表述，力求公平公正，凸显了数学教育教学、数学教育研究、数学课程改革的现实指导意义和价值取向，展现了基础知识、核心主干内容常考常新，与时俱进的张力，构成了试卷的主体和重心．
　　4.思想方法彰显魅力
　　试卷对体现数学学科整体意义和思想价值的“精髓”与“灵魂”的数学思想方法进行了无处不在的全面、到位的考查，对数学思想方法中最核心、最普适的数形结合、函数与方程、必然与或然、分类与整合、化归与转化等思想方法进行了内敛、平和、润物无声式的考查．在数学应用、数学创新上，突出了用数学的思维方式与视角眼光提出问题，用数学的方法分析和解决问题层面上的设计，除个别试题外，几乎所有试题都运用到中学数学基本思想方法中的一个或几个，特别地，理第12题及文第16题对多种思想方法以及合情推理、归纳推理能力进行了综合考查，显现了数学思想方法这一学科“利器”的“给力”之处，为考生提供了广阔的思维空间，同时，也彰显了数学思想方法的和谐、自然、普适的魅力．
　　5.几处瑕疵仍需努力
　　试卷在整卷的层次设计、综合度设计和难度设计上，对考生的实际思维、运算、综合能力估计欠精，导致“多思少算”的命题理念的些许走偏，在“多思”的深思、活思、巧思上，在“少算”的适量、适度上，在“压轴”的深度综合、交叉综合上稍显平淡，缺乏力度，从而也就在所难免地导致试卷在层次选拔功能上的过度弱化，如理第3、4题，第12、13题，第20题“压轴”题，及文第3、4题，第14、15、21题均或多或少存在着“思轻算少”的问题，这是试卷让人遗憾之处，也是要在今后命题中努力避免和完善之处．
　　 二、答题问题简析
　　实测数据表明：2011年福建省高考数学试卷考试统计结果是文科均分为99.43，难度为0.66；2011年福建省高考数学试卷考试统计结果是理科均分为107.60，难度为0.72．如同前面分析，实测数据均超出了预计，也影响了试卷的层次内的选拔功能，留下了缺憾．值得说明的是两卷区分度分别为0.58和0.51的优秀等级，达成了强化层次间区分的目的，一定程度上消弱了试卷整体选拔功能被弱化的问题．
　　通过部分实测数据分析考生答题情况，可以看出本届考生存在的主要问题仍是基础不扎实、能力不到位，具体来说：（1）数学理解不到位、概念理解含糊，方法掌握欠熟，存在知识和方法缺漏；（2）数学阅读理解、表达与计算推理的能力偏弱；（3）过程性知识、方法性知识不到位、畏惧非程式化解题方式，思维灵活性、批判性、深刻性有欠缺；（4）综合能力弱，对新信息欠敏感，对新题型欠自信；（5）答题规范和答题策略欠妥，应试技能与心智调整能力不足；（6）没有养成良好的学习习惯，常规性失误严重．
　　 三、评析观点与建议
　　1.几道试题评析
　　理科第11题（满分4分）：运行如图所示的程序，输出的结果是 .
　　解析：，答案应填3.
　　本题让很多人瞠目结舌，大失所望，甚至讥讽为“一加二”、“淡如水”的高考题.
　　本题属课改新增内容，考点为程序语言的译读，运行结果的计算，是填空题的第1题，实测结果平均分3.77，难度0.94.从个题来说，本题考点清晰可辨，语言简洁明快，呈现干净利落，且大度大气，数学味浓、难度小，进一步稳定了考生情绪，增强了解题信心；从整卷来说，少量这样的单点不综合“淡如水”的试题可为全卷的丰富性、层次性进一步奠定基础，因而是不可或缺的，此所谓“张弛之美，留白之艺”，填空首道试题如此设计当可理解.别外，本题的落脚点不在计算，除凸显考点外，将计算可能引起的失误降到最低也是命题者的人文关怀和良苦用心，“一加二”的误解当可消除.可以说，命题者的如此设计为我省”去模式化”的命题探索增添了亮丽一笔.
　　尽管如此，命题者的“大胆”着实让人敬佩，艺高人胆大者如是.
　　理科第1、2、3、4题，以及文科第1、2、3、7题与本题有异曲同工之妙，不再赘述.
　　理科第10题（满分5分）：已知函数f（x）=ex+x，对于曲线f（x）上横坐标成等差数列的三个点ABC，给出以下判断：
　　①△ABC一定是钝角三角形；
　　②△ABC可能是直角三角形；
　　③△ABC可能是等腰三角形；
　　④△ABC不可能是等腰三角形.
　　其中，正确的判断是（ ）
　　A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
　　解析1：A（x1，eX1+x1），B（x2，eX2+x2），C（x3，eX3+x3），x1+x3=2x2，
　　=（x1-x2，eX1-eX2+（x1-x2）），=（x3-x2，eX3-eX2+（x3-x2）），
　　•=（x1-x2）•（x3-x2）+［eX1-eX2+（x1-x2）］•［eX3-eX2+（x3-x2）］，
　　不妨设x1＜x3，则x1＜x2＜x3，eX1＜eX2＜eX3＜，•＜0，△ABC一定是钝角三角形；
　　若=，则（x1-x2）2+［eX1-eX2+（x1-x2）］2=（x3-x2）2+［eX3-eX2+（x3-x2）］2，2x12-4x1x2+（eX1-eX2）2+2（eX1-eX2）（x1-x2）=2x32-4x2x3+（eX3-eX2）2+2（eX3-eX2）（x3-x2），即［eX1-eX3+（x3-x2）］（eX1+eX3-eX2）=0，而eX1+eX3-eX2＞2e-2eX2=0，则eX1-eX3+x1-x3=0，即f（x1）=f（x3），与函数f（x）为单调增函数矛盾.
　　故只有①④判断正确，答案应选B.
　　本题由高中数学核心主干内容综合而成，为选择题的最后一道，考点为函数、数列、不等式、平面三角的基础知识以及运算求解、推理论证的能力，同时考查了函数与方程、数形结合、化归与转化的思想，此外，还含蓄大气地考查了一般的逻辑推理、合情推理、算理、数学学习潜能等深层的数学素养与能力.本题综合力度大，能力要求高，选拔功能强，实测结果平均分1.75，难度0.35.另一方面，试题内容丰富翔实、呈现自然明晰流畅、语言精致阅读量适中，不失为一道精品试题.除阅读联想、数式变形、分支链接、图式转化、语言转化等显性能力展现和上述普适性的解法1外，还隐含着根据选择题特点和试题的呈现特征的快思快解，值得称道的是快思快解不是立足技巧，而是立足能力与综合素养，且方法大气不做作，为不同个性、不同思路、不同能力层次的考生拓宽了施展空间，实在难能可贵.
　　解析2：由f′（x1）=eX+1＞1知f（x）单调递增，注意到图象特征可合情推得KAB＞1＞0，KBC＞1＞0，KCA＞1＞0，从而可得△ABC不可能是直角三角形；由此可进一步推得图象上的任意两弦不垂直，又三点横坐标成等差数列，注意到等腰三角形三线合一性质，再结合图象特征可合情地归纳得知不可能是等腰三角形；再看选择支，运用一般的逻辑推理可推得①与②不可同时成立，③与④两组命题中均有且只有一个命题成立.综合上述三点可得：只有①④判断正确，答案应选B.
　　理科第15题（满分4分）：设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:V→R满足：对任意向量 =（x1，y1）∈V， =（x2，y2）∈V以及任意λ∈R，均有f（λ +（1-λ） ）=λf（ ）+（1-λ）f（ ），则称映射f具有性质P.现给出如下映射：
　　①f:V→R，f1（ ）=x-y，=（ x，y）∈V；
　　②f:V→R，f1（ ）=x2+y，=（ x，y）∈V；
　　③f:V→R，f1（ ）=x+y+1，=（ x，y）∈V.
　　其中，具有性质的映射的序号为 .（写出所有具有性质的映射的序号）
　　解析：①f1（ ）=x-y，f1（λ +（1-λ） ）=f1（λx1+（1-λ）x2，λy1+（1-λ）y2）
　　=λx1+（1-λ）x2-λy1-（1-λ）y2=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2）=λf（ ）+（1-λ）λf（ ）具有性质P的映射，同理可验证③符合，②不符合，答案应填①③.
　　本题为填空的最后一题，数学味十足，能力要求高、选拔功能强.实测结果平均分1.51，难度0.38.
　　它是一道高等数学观点、中学数学内容下的试题，有较浓的形式化特征，对数学的阅读、数学的解构能力、特别是数学符号的概念内涵、运算内涵、结构内涵、变式内涵及思想和方法内涵的理解和运用能力均有较高要求，旨在考查考生的数学学习潜能和数学学习迁移能力及数学思维能力的深刻性.
　　本题形式上是对一个从二维向量空间到一维实数空间的映射性质的探求，实质上是对一个二元函数线性不变性的探求.值得称道的是该题以不显山不露水的较为平和、自然流畅的方式给出了一个内涵深刻、内容丰富、意寓厚实且思多算少的试题.
　　文科第12题结合文科考生实际，与本题同出一辙，不再细述.
　　2.几个观点阐述
　　2011年福建省高考数学试卷一面世即引得业内外的广泛关注和热议，褒贬不一、针锋相对，碰撞出几多思想火花，引发出如质量观、教学观、命题观的诸多思考，令人欣慰．这是教研资源，并必将转化为命题改革、教育改革的动力．
　　抛开试题试卷的些许遗憾，站在发展和导向等积极意义的视角下审读整套试卷，可以看出：
　　（1）从我国基础教育的时代特征和数学教育回归朴素、自然、大气、注重实质的发展趋势来说，这套试卷是一个有效的尝试；
　　（2）从落实减负增效，促进学生全面发展合谐进步来说，这套试卷是一个成功的范例；
　　（3）从杜绝题海战术、制止恶性竞争，催生“绿色高考”、落实课改目标来说，这套试卷是一剂稍猛的良药；
　　（4）从缩小数学教育之理想与现实的落差，重树学生学好数学信心，实现深层次的考试公平来说，这套试卷是一个有力的启示；
　　（5）从能否实现将黄金年华的高三还给学生做更有意义、更在兴趣、更具个性的学习研究，体会学习、探索、成长的快乐来说，这套试卷是一个明确的答复．
　　3.几点复习建议
　　（1）温考纲、列变化、准定位；
　　（2）析学情、补缺漏、优结构；
　　（3）归课标、强三基、夯内力；
　　（4）重通法、会技法、提能力；
　　（5）精选材、精讲练、重规范；
　　（6）小做大、大做简、分类推；
　　（7）讲学法、讲考法、讲策略；
　　（8）调心理、调状态、重关怀；
　　（9）抓落实、树信心、迎挑战．
　　2011.12.5
　　（责任编辑：王钦敏）