高数习题课变式教学探析

　　 【摘 要】在高数习题课教学中，教师应善于引导学生学会变题，善于变通推广，激发学生的学习潜能，培养学生的创造性思维能力和创新能力。同时，还应坚持适用性、针对性、参与性等原则。
　　 【关键词】高数习题课 变式教学 创新能力
　　 【中图分类号】G 【文献标识码】A
　　 【文章编号】0450-9889（2012）02C-0122-02
　　
　　 高数习题课的目的是让学生独立地、创造性地掌握数学内容（包括数学思想方法，技能、技巧等），发展数学思维能力，提高数学素养。但在现实的数学教学中，部分教师大都穷于应付烦琐的教学内容和过量的题目，解题教学就题论题，孤立求解。学生在题海中进行反复的对号练习，当遇到不熟悉的问题时，常会感到束手无策。这与教学改革、培养学生的创造能力、提高学生的创新能力目的是背道而驰的。变式教学能让学生对概念、定理、公式有多角度的理解；同时，对问题的多层次的变式构造，可使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，能有效地帮助学生积累解决问题的经验和提高解决问题的能力。因此，变式教学是提高课堂效率的有效途径，是一种行之有效的教学方式。笔者在教学实践中，除传统的变式教学外，还把一些“变”的主动权交给学生，让学生自己进行探究，找出知识的进一步应用。这种变式教学方式，不仅提高了学生参与课堂活动的积极性，而且在思维的碰撞中，学生找到了规律，提高了能力。本文通过教学中的具体课例进一步探析这种变式教学方式。
　　 一、变题中常用的手法
　　 （一）以点带面，成片开发。在高等数学习题课中，如果只举一些例子，做几道习题，学生好像会了，但把题目稍微改变一下，学生又不会做了，且会消耗宝贵的时间。教师如果对学生加以引导，让问题以点带面，就能达到事半功倍的效果。
　　 例如，很多学生觉得用第一类换元积分法求积分题型多、变化大、技巧性强，很难掌握。下面是笔者在一次第一类换元积分法习题课教学中的部分教学过程。该问题是求不定积分：dx；dx；dx
　　 学生认为很简单，说把积分表达式中的dx变成d(lnx)，积分变为lnxd(lnx)；d(lnx)；d(lnx)就能积出了。
　　 教师：以上三个例子有什么共同点？
　　 学生：每个积分表达式中都含有dx和关于lnx的一个
　　函数。
　　 教师：对，以上关于lnx的一个函数都是lnx的幂函数(lnx)α，即积分形式为(lnx)α•dx，lnx的函数能不能是幂函数以外的函数呢？比如说是指数函数？三角函数？请举出例子。
　　 学生经过思考说：应该可以。学生在教师的启发下说出如elnxdx；dx等式子。
　　 教师：能不能写成一个通用的式子呢？
　　 学生：可以写成f(lnx)•dx
　　 教师：同学们不妨改变被积函数f(lnx)，编出一些题来给大家相互练习。
　　 学生习惯了做题，从来没有编过题，有点不相信，当得到教师肯定后很兴奋。学生争着上黑板写出自己编的题：
　　dx；(lnx)•dx；dx；3lnx•dx；
　　cos(lnx)•dx；ln(lnx)•dx等（因学生编的题量较多，这里只列出较典型的题――笔者注）。
　　 教师：非常好。大家都懂得解吗？
　　 学生回答得异常大声，说：会，但最后一题难一些，要用分部积分法。
　　 教师：能不能把被积函数f(lnx)变复杂些？比如给Inx乘上或加上一个不为零的常数？
　　 学生认为可以，一会儿又列出了题目：
　　dx；dx；dx；dx；
　　e2lnx-3•dx；sin(5lnx+2)•dx，等等。
　　 教师：怎样求解？
　　 学生：把dx凑成(1+lnx)d(1+lnx)；dx凑成(1+2lnx)2d(1+2lnx)；dx凑成
　　d(1+4lnx)；其他几题也类似地用凑微分法求出解。
　　 教师：积分式f(lnx)•dx中，恰好是f(lnx)中lnx的导数，能不能把lnx变成其他函数从而把f(lnx)•dx推广为一般情形？
　　 学生：设lnx=?渍(x)，就可得到一般情形f[?渍(x)]•?渍"（x）dx。
　　 教师：不错。同学们能否编一些形如f[?渍(x)]•?渍"（x）dx，又不同于f(lnx)•dx的积分题？并要求说出解法。
　　 学生争先恐后地在黑板写上题目：
　　3(2+3x)8dx；exsin(ex-2)dx；dx；sindx；
　　dx，等等，并一一说出了解法。当学生得知，他们编的题中有些是书本上的习题、有些是历届的考试题时，非常高兴。由学生自己出题，自己解答，学生兴趣盎然，课堂气氛活跃。学生转换了角色，其潜能得到激发，并在探索中掌握知识的内在联系，从而培养了创造性思维能力和创新能力。适当的采用变式教学，可以在做题过程中培养学生归纳和总结问题的能力，让学生在不同的变式中寻找相同的规律，做到“透过现象看本质”。
　　 （二）改变条件或结论，揭示实质。在教学中善于变题，由此及彼，能活跃学生的思维、营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发其潜能，并能让学生领略数学的美和魅力，从而让学生持久地保持兴趣。这有助于培养学生的探索精神和创新意识。在变题中改变条件或结论是常用的手法。例如，在级数习题课中的举例：求级数(-1)n的收敛半径。在学生求出收敛半径后，提问学生：“这道题能变吗？”第一变：把收敛半径改为收敛区间呢？第二变：把收敛半径改为收敛域呢？第三变：把xn改为x2n，级数的收敛半径、收敛区间、收敛域又如何求？第四变：把xn改为(x-3)n，级数的收敛半径、收敛区间、收敛域又如何求？第五变：把xn改为(x-a)n，级数的收敛半径、收敛区间、收敛域又如何求？第五变是条件一般化，提高了学生的综合分析能力，培养了学生思维的深刻性。通过改变题目的条件，挖掘所学知识的内在联系，从而培养学生思维的概括性和严谨性。
　　 （三）改变提问角度，触类旁通。在习题课中，对题目的提问角度加以改变，能取到触类旁通的效果。例如，证明当x→1时，1-x与1-是同阶的无穷小。改编为：设α=1-x；当x→1时，试举出与α是（1）同阶；（2）比α高阶；（3）比α较低阶无穷小的β。这个变法虽然比较简单，但是可以让学生感受到，有些问题稍加转化，就是以前学过的基础知识点。找到题目之间的联系，能将题目进行归类，从一道题的解法找到一类问题的解法，这就是所谓的通解通法。找到通法，学生就不必反复地做枯燥的练习，还能更有效地掌握知识点。一系列的变题有助于学生举一反三，触类旁通，激活大脑中原有的认知结构，唤起求知欲，形成教师乐教、学生乐学的局面。
　　 （四）联系实际,在实际问题中找模型。课本上的题大多是和实际没什么关联的，在教学中如能和实际问题紧密联系，将会极大地激发学生的学习兴趣。例如，在定积分的分部积分法举例：计算xe-xdx，改编为：在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度r可以近似地表示为r=te-t（单位：焦耳/小时），求在前两个小时内消耗的总电能E（单位：焦耳）。经过引导学生利用电学知识求出前两个小时内消耗的总电能为E=te-tdt。这就要求教师有丰富的专业知识和数学应用意识。教师在教学过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联想，让学生知道数学与专业和生活是紧密联系、不可分割的，很多数学问题在专业和生活中都能找到模型。通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。
　　 二、变题的原则
　　 （一）适用性。在习题课的变题中，为体现高职院校基础课是以“实用为主，够用为度”的要求，应尽量不出难、怪、偏题。变式的设计应考虑学生的实际水平, 问题应设置于学生的最近发展区，变式时应把握恰当的度，既不能“变”得过于简单。过于简单的变式题对学生来说是重复劳动，学生思维的质量得不到很好的提高；也不能“变”得过于难，过于难的变式题会加重学生的学习和心理负担，使学生产生逆反心理，挫伤学习积极性，同样也起不到很好的教学效果。
　　 （二）针对性。应以本章节内容为主，选用最一般、最典型、最有代表性、最能说明问题、而且能突出《大纲》要求、教材重点的题目，然后由这一道题出发，由浅入深，由此及彼。此外，还应适当渗透一些数学思想和数学方法。在复习课的习题变式中还应进行纵向和横向的联系。
　　 （三）参与性。在教学过程中由学生主动参与变题，会使其体会到成功的快乐，教学效果会更加好，因此，应保证学生一定的参与程度。但也应看到，学生参与变题不利于教师把握课堂的进程；而如果由教师给出变式，虽有利于教师把握课堂的进程，但在调动学生积极性等方面或多或少都有些欠缺。这就需要教师在教学过程中根据具体情况灵活把握学生参与的度。
　　 在高数习题课的变式教学实践中，教师不仅要善于引导，给学生自由思考、自由表达、自我发现、自我发展的空间，而且还要善于将掌握的内容与发展思维能力统一起来，将知识应用与知识发生过程统一起来，在教学中引导学生多角度、多层次地思考问题，使学生在探索中掌握知识的内在联系，从而培养学生的创造性思维能力和创新能力。
　　
　　【参考文献】
　　 ［1］章显联.一堂习题课的启示［J］.数学通报，2003（1）
　　 ［2］刘健.谈变式教学中习题引申应注意的几个问题［J］.数学通报，2003（1）
　　 ［3］曹贤鸣.变式教学应服务于课堂教学目标［J］.数学通报，2008（7）
　　（责编 苏 洋）