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第二讲:数学之旅讲座时间:2013年9月21日(周六)14:00-15:00地点:钱学森图书馆B13学术交流厅内容简介:这是一次轻松的数学...

1896 1920 1987 2006 数学之旅 2014－09, 华南师范大学 上海交通大学 王维克 开头的话 问题的提出 1896 1920 1987 2006 数学学习的两类困难---抽象！ 很多问题的解决本质上依赖于“抽象”！ 一个目标，一堆数据，一些要求？ 你怎么办？ 先看数学是什么？（数与形的科学？） 数学是什么 数学思维 数学学习 数学是什么 数学思维 数学学习 数学是什么 数学—与造物主对话的语言： ? 冥冥之中的宇宙深处伟大设计图的语 言； ? 宇宙的伟大设计师象是一位数学家。 数学是什么 （物理学告诉我们世界是什么样，数学告诉我们世 界只能是什么样！） 数学是什么 宇宙的琴弦 ——数学认识世界又一伟 大尝试 对宇宙的最深刻认识将揭示一 个最大的宇宙奇迹，那就是， 它所依赖的基本原理是那么简 单而有力。爱因斯坦渴望以前 所未有的清晰来表现宇宙的活 动，让每一个人都敬畏它那美 貌动人的弦律。 数学是什么 现代物理学的两大支柱： ? 爱因斯坦的相对论； ? 量子力学。 数学是什么 宇宙的琴弦 （基本思想） 物质由原子组 成，原子由夸克 和电子组成。根 据弦理论，这些 粒子实际上是由 闭合振动的弦构 成。 数学是什么 宇宙的琴弦（要点） 一根闭合的弦的不同振动模式产生不同的 质量和力荷，生成了不同的基本粒子； 闭合的弦的尺度大约是原子核的一千亿亿 分之一（小数点后18个零）； 以弦代替粒子可以解决相对论和量子力学 之间的矛盾。 数学是什么 宇宙的琴弦（要点） 宇宙是11维的（除通常的3维空间外，还有 6个转缩的空间维、一个“丢失”的空间维 和一个时间维）； 多余维度的几何决定着我们在寻常三维展 开空间里观察到的那些粒子的基本物理属 性，如质量，电荷等； 转缩的空间可以用卡－丘（Calabi-Yau)空 间描述。 数学是什么 数学是什么 宇宙的琴弦 E. Witten: “弦理论是21世纪物理学偶然落到20世纪 的一个部分”。 数学是什么 ? 数学——用理性的手指去触摸天上 的星辰： ? 理性探索，思索本源，“算出”未知； ? 用理性的思维达到超出人类感官所及 的宇宙的根本，和任何工具都不可达 到的领地。 ? 理解世界 数学是什么 天王星发现后，人们开始研究它的运行轨道。

人们发现它的实际运行轨道与根据太阳引力计算 出的轨道有偏离，于是推测在天王星外还有一颗 行星，它产生的引力使天王星的轨道发生了偏离。

英国天文学家亚当斯和法国天文学家勒威耶根据 万有引力定律计算出了这颗尚未发现的行星的轨 道。1846年9月18日，德国天文学家伽勒对准勒 威耶计算出的位置，真的看到了一颗蓝色的星星 －－它就是人们所称的“笔尖上发现的行星”海 王星。 数学是什么 数学—科学研究最重要的工具：

? 在每门具体的自然科学中，有多少数 学存在，就有多少严格的科学（康 德）;

? 科学研究的基本语言(一般性----抽象)； 改造世界 数学是什么 早期数学更多和哲学结盟； （芝诺、阿基米德、笛卡儿） 牛顿时代及以后，数学和物理学是最好的盟友 在20世纪，对科学起了里程碑作用的伟大发现， 都与数学有密不可分的联系（相对论、量子力学） 在21世纪，数学已深入到化学、生命科学和社会 科学 （DNA的双螺旋结构，经济学诺贝尔奖） 数学是什么 数学——是与造物主对话的语言； 数学——是理解世界的重要工具； 数学——是研究和解决实际问题的必备利器； 数学——素质教育最重要的载体； 数学——深刻地影响着人类文化、精神生活和 思维方式。 数学是什么 数学思维 数学学习 数学思维 数学思维的特点： 第一层次： 精确——简洁干净，没有歧义； 第二层次： 严密——逻辑清晰，避免混乱； 第三层次： 抽象——去伪存真，揭示本质； …… 数学思维 精确 例：在赤道为地球做一个箍，紧紧箍住地球。

问如果将这一个箍加长1m，问一只小老鼠 是否可以通过？ 凭感觉判断还是算一算？ （地球赤道半径 6378.140千米（公里） ，地球 的赤道周长是40075.24公里－－约8万多里,毛泽 东的诗曰“坐地日行八万里”就指此） 数学思维 2? ( R ? x) ? L ? 1, 2? R ? L ? 2? x ? 1 x ? 1 / 2? ? 1 / 6.28 ? 0.16m 数学思维 严密 欧几里德几何是最好的例子。

形成现代数学推理的典范。

例如：三角形之和为180度。 数学思维 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直边的平方之和。 费马大定理 对方程 x ?y ?z n n n 当n ?2 时没有整数解 孪生素数猜想 存在无穷对孪生素数 …… 数学思维 孪生素数猜想 孪生素数的问题已经有约2000年的历史。

在1900年的国际数学家大会上，希尔伯 特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个 数学问题。

最近，新罕布什尔大学（University of New Hampshire，UNH）任教的张益唐 近日声称，其证明了存在无穷多对素数， 其差小于7000万。

美国数学家多利安· 戈德菲尔（ Dorian Goldfeld）评论说，从7000万到2的距离 （指猜想中尚未完成的工作）相比于从无 穷到7000万的距离（指张益唐的工作） 来说是微不足道的。 张益唐的工作无疑是世 界数学界的一大进展， 其结果影响力甚至可能 超过陈景润在哥德巴赫 猜想方面所做的工作。 数学思维 徐光启在翻译《几何原本》时写了一篇短文—— 《几何原本杂论》 徐光启认为此书有四不必: 不必疑(因为其一切结论都是明确无疑的), 不必揣(因为一切概念结论均不存模糊之处,不必 妄加揣测), 不必试(凡推理所得都是正确的,无需再经试验) 不必改(因为一切都已井然有序,不必改动)。 数学思维 有四不可得: 欲脱之不可得, 欲驳之不可得, 欲减之不可得, 欲前后更置之不可得。 数学思维 似至晦实至明, 故能以其明明他物之至晦;

似至繁实至简, 故能以其简简他物之至繁;

似至难实至易, 故能以其易易他物之至难。 易生于简,简生于明,综其妙在明而已。 数学思维 下学功夫, 有理有事。此书为益能令 学理者祛其浮气, 练其精心(即有助于从事原理 原则的研究者, 去其虚夸之气, 使之精密) 学事者资其定法, 发其巧思(即有助于学习实际 事务者, 有一确定而且可靠的方法, 并从而获得 创造性) , 故举世无一人不当学。 数学思维 徐光启是认为学几何学并不只是为了培养专门的 数学家, 而是给一般的人一种方法论, 一种寻求 真理以及解决各类问题的方法. 它所针对的是:“揣摩造作, 而自诡为工巧”（ 是虚夸浮躁） “向所立言之可得而迁徙移易也”（就是今天这 样说, 明天又那样说,而毫无定见) . 因此, 这里涉及了整个民族的素质. 数学思维 林肯买了一本几 何学的书，骑马 出巡的时候总是 带在身边，林肯 要以此来训练自 己的推理和表达 能力。 数学思维 《林肯传》的作者荷恩敦在书中这样写到：

我们在乡下住客栈的时候，??他每天晚上都要 在床头的一张椅子上点支蜡烛，看几个小时的书 。往往要到凌晨两点钟，我们几个人早就熟睡了 ，他还是保持着这种姿势苦苦读书。我们每一次 出巡办案，他在路上都是这样手不释卷地研究几 何学。后来，他能够很轻松地证明六大册欧氏几 何学的所有定理。 数学思维 抽象： 从许多事物中舍弃个别的非本质的属性， 抽出共同的本质的属性，叫抽象，是形成 概念的必要手段； 不能具体到经验的，笼统的，空洞的。 ——摘自《现代汉语词典》 数学思维 数学抽象就是揭示本质； 数学抽象（概念，模型）是理解世界的最 好武器； 数学抽象能力是数学学习的最重要的目的。 数学思维 抽象—— 超越经验，思考无限 点 无穷大 数学思维 抽象 —— 抵制诱惑，难得“糊涂”； 数 拓扑学 关心的对象与关心的属性（清楚自己要什么） 数学思维 七桥问题 （一次抽象的绝好案例） 数学思维 七桥问题 18世纪初在普鲁士的哥尼斯堡城（哲学家康德出 生于此）有七座桥跨在普列格尔河上，它们将河 中两岛和两岸相互连接。 当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线， 可不重复地走遍七座桥。 数学思维 哥尼斯堡城 数学思维 而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七 座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况， 要一一试验，这将会是很大的工作量。

1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的 彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮 忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七 桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他 怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？ 数学思维 1736年29岁的欧拉向圣彼 得堡科学院递交了《哥尼 斯堡的七座桥》的论文， 欧拉通过对七桥问题的研 究，不仅圆满地回答了问 题，而且得到并证明了更 为广泛的 “欧拉定理”。

在解答问题的同时，开创 了数学的一个新的分支----图论与代数拓扑。 数学思维 数学思维 把七桥问题化成判断连通图能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔 画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过 此点弧的条数是奇数)的个数为0或2. 一般的，有几对奇顶点,就需要几笔画完。 七桥问题是无解的，需要二次走完。 瑞士法郎上的欧拉头像 数学思维 六人集会问题 《美国数学月刊》（The Amer. Math. Monthly, 1958 年6/7号，问题1321） 在任意六个人的集会上，或者有三个人以前彼此 认识，或者有三人以前彼此不认识。

这一问题是组合学拉姆塞理论的一个特例。 数学思维 桑塔费的咖啡馆 在一个咖啡馆里，顾客超过90％和低于40％ 就不适宜去，如何建立一个数学模型根据前几天 的顾客到的情况判断今天是否应该去。

非完全理性的经济学； ? 信息不完全，判断非完全理性 数学思维 抽象 —— 归纳提升，从个别到一般； 线性空间 （一个非空集合一个域，两种运算（一内一外）， 八条运算法则） 线性性 L(af ? bg) ? aL( f ) ? bL( g) 数学思维 距离与空间 （一次抽象的亲历体验） 数学思维 以“距离”为例： 两点之间的距离 两个函数之间的距离 两个人之间的距离 数学思维 航海时以 大圆来测 量距离 数学思维 数学思维 两个向量之间的距离 两条曲线之间的距离 两个人之间距离（重心、鼻尖、心灵） 数学思维 x ? ( x ,?, x ) 到 y ? ( y1,?, yn ) 的距离 1 n ? 情形1： ? 情形2： d1 ( x, y ) ? ( x1 ? y1 ) 2 ? ? ? ( xn ? yn ) 2 ? 情形3： d2 ( x, y) ? max{| x1 ? y1 |,?, | xn ? yn |} d3 ( x, y) ?| x1 ? y1 | ??? | xn ? yn | 数学思维 函数 f ( x) 到函数 g ( x) 的距离 ? 情形1： ? 情形2： ? 情形3： d1 ( x, y) ? ? ( f ( x) ? g ( x)) dx 2 a b d 2 ( x, y ) ? max | f ( x) ? g ( x) | a ? x ?b b d3 ( x, y) ? ? ( f ( x) ? g ( x)) dx k a 数学思维 ? 两个人的默契程度？ ?两个人的经历相似度？ ?两个人的爱好、问题看法的一致性？ ?…… 数学思维 你如何定义距离？ 就对平面上的两个“点” 提示：不是具体指明它是什 么，而是有什么“属性”的 对象是它！ 数学思维 苹果：①落叶乔木，叶子椭圆形，花 白色带有红晕，果实圆形，味甜或略 酸。②这种植物的果实。

水果：可以吃的含水分较多的植物果 实的统称，如苹果，梨子，桃。

热带水果： －－摘自《现代汉语词典》 数学思维 距离最重要的属性是什么？ 数学思维 距离最重要的属性是什么？ 大于等于零（正性） 对称性 三角不等式 数学思维 定义：设 X 是一非空集合，任给一对这 一集合的元素 x, y ,都给定一个实数 d ( x, y ) 与它们对应，并且满足： （1） d ( x, y) ? 0;

d ( x, y) ? 0 ? x ? y ; （2） d ( x, y) ? d ( y, x);

（3） d ( x, y ) ? d ( x, z ) ? d ( z , y ). 则称 d ( x, y ) 是这两点之间的距离。 数学思维 ?范数可以定义“强化”了的距离;

?内积是较距离和范数有更多内涵； ?拓扑是“弱化”了的距离。 ?拓扑 距离 范数 内积 数学思维 ?有了距离后，和我们现实空间比较， 还有什么结构也是十分重要的呢？ ?维数是我们关心的！ ?维数的本质是什么？ ------线性结构 艾勃特《平面国》 数学思维 ?拓扑 距离 范数 内积 ?拓扑空间，度量空间，赋范空间， 内积空间（已有线性结构） 线性赋范空间，内积空间 ?拓扑线性空间，线性度量空间， ? 巴拿赫空间，希尔伯特空间 数学思维 反过来问：什么是直线？ 两点间距离最短的连接线！ 球面上的直线是大圆 球面上的三角形由大圆构成 球面上的三角形的内角和大于180度 数学思维 测度如何定义 各种拓扑空间的定义 数学思维 抽象—— 去伪存真，揭示真谛； 牛顿－莱布尼兹公式 数学思维 不动点原理 （一次抽象到应用的旅程） 数学之旅 从搅动的咖啡出发： 布劳威尔不动点原理； 无穷维的不动点原理； 经济学的应用。 ? 搅动的咖啡； 问题的提出 ? 任意揉皱和折叠的图片； ? 任意伸展和折叠的弦； ?? 一维情形 一维情形 一维的布劳威尔(Brouwer)定理： 设[a, b]为R的有界闭区间， f(x)是从[a, b]射到[a, b]内的 连续映射，则至少有一点为之不 动点，即至少存在一点 x ? [ a, b] 0 ，使得 f ( x ) ? x . 0 0 一维情形 证：设F(x)=x-f(x).由于f(x)的连续性知f(x) 的值域是一区间 (c, d ) ? [a, b] .若a=c或者 b=d, 那么x=a或者x=b即为不动点.若均不 成立，则必有a<c, d<b,那么： F ( a) ? a ? f ( a) ? a ? c ? 0 F (b) ? b ? f (b) ? b ? d ? 0 有介值定理知必有一点 x 使 F ( x ) ? 0 ，即 0 0 f (x ) ? x 0 0 . 布劳威尔(Brouwer)定理：

设X为一个既紧又凸的拓扑空间，设 F是一个映X到自身的连续映射，则至 少有一点为之不动点，即至少存在一 点 x ? X ，使得：

。

F(x ) ? x 0 0 0 经济学应用 ?一般经济均衡价格的存在问题： 假定一个经济体中有若干种商品，若 干个消费者，若干个生产者.消费者追 求消费效用最大，生产者追求生产利 润最大.引出的消费需求和生产供给都 是商品价格的函数问题：是否在一定 条件下存在一般均衡价格体系. 经济学应用 ? 美籍法裔经济学家G.Debreu因 用数学解析办法解决这一问题 获1983年诺贝尔经济学奖. ? Debreu是法国布巴基学派精神 培养的数学家，1956年获巴黎 大学经济学博士. ? Debreu解决这一问题的数学工 具是相当深刻的，1974年他应 邀在国际数学家大会作报告. 数学是什么 数学思维 数学学习 数学学习（问题提出） 抽象的必要性（更本质，更一般，? ）； 在提炼和重塑过程中，去掉了“草稿 纸”，不知道问题的提出，不再清晰 易懂了； 学校的教育由于其目的和义务繁多， 不能给更有启发的讲法。 抵制诱惑； 明了动机； 善于联想； 找到感觉。 数学学习（抵制诱惑） 抵制“常识”的诱惑； 常识是十八岁之前在头脑中所 铺下的偏见层。 阿尔伯特 · 爱因斯坦 （整数和有理数一样多、拓扑学、??） 数学学习（明了动机） 抽象形成的动机、轨迹（草稿纸， 故事）； 为什么要有抽象的经历定义？ 微积分学习中“连续”定义的必要性？ 为什么要学线性代数（线性空间）？ 有数学分析为什么要学实变函数？ 数学学习（明了动机） “连续”定义的必要性：Riemann函数 为无理数 ? 0, x ? [0,1], R( x ) ? ? ?1 q, x ? [0,1], x ? p q, p, q互质 问题：在无理点连续吗？ 数学学习（善于联想） 导数与“边际”； 4 ? 球的体积与表面积：

?r ;

3 3 4?r 2 在经济学中, 许多经济量-如效用, 报酬, 成本, 收益, 净利等, 都可以冠以边际两字 , 以表征这些经济量的变化。

这个例子告诉我们, 由于人经济行为的 有限性, 边际(差异,变化)的概念比总量更 具有经济意涵, 因此当许多经济学的定律, 都以边际的观念来书写。 数学学习（找到感觉） 数列极限为0的定义： lim an ? 0 n?? 直观定义：当n愈来愈大时，an 愈接近0。

数学定义： 愈来 ?? ? 0, ?N ? 0, 当n ? N时， | an |? ? 理解无穷小 （一尺之捶，日取其半，万世不竭 ） 数学学习（找到感觉） 费曼讲的的故事 “恐龙24英尺高， 头6英尺宽” 谢谢！ 

数学之旅-演讲 数学之旅-演讲 暂无评价 | 0人阅读 | 0次下载 | 举报文档 数?学?,?神?奇?的?哦?数?学?,?完?美?的?数?学 大小:5.61MB 1下载券 登录百度文库,专享文...

《数学史》及全校公选课《数学之旅》等课程的教学工作,是省级精品课程《数学分析》... (1-3 门. 含 书目名称,作者,出版社,出版时间.) 1 、《文明之路――数学史演讲录...

原文地址：给学生的数学讲座作者：刘老师 同学们好！今天的聚会，我代表高一数学备课组全体老师，和同学们交流、讨论高中数学的学习，希望对同学们今后的数学学习有所帮助...

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