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系：信息工程学院 业：

自动化 指导老师：张洪 -1- 实验 1 [实验要求] 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换 应用 MATLAB 对系统仿照[例 1.2]编程，求系统的 A、B、C、阵；然后再仿照[例 1.3]进行验证。并写出实验报告。

[实验目的] 1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传 递函数相互转换的方法； 2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换 方法。

[实验内容] 1 设系统的模型如式(1.1)示。 ? ? Ax ? Bu ?x ? ? y ? Cx ? D x ? Rn u ? Rm y ? Rp (1.1) C 为 p×n 维输出矩阵，D 其中 A 为 n×n 维系数矩阵、B 为 n×m 维输入矩阵 为传递阵，一般情况下为 0，只有 n 和 m 维数相同时，D=1。系统的传递函数阵 和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)示。 G( s) ? num((s) ? C ( SI ? A)?1 B ? D den(s) (1.2) 式(1.2)中， num( s ) 表示传递函数阵的分子阵，其维数是 p×m； den( s) 表示传递 函数阵的按 s 降幂排列的分母。

2 实验步骤 ① 根据所给系统的传递函数或（A、B、C 阵） ，依据系统的传递函数阵和状 态空间表达式之间的关系如式(1.2)，采用 MATLA 的 file.m 编程。注意：

ss2tf 和 tf2ss 是互为逆转换的指令； ② 在 MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。

③ [1.1] 已知 SISO 系统的状态空间表达式为(1.3)，求系统的传递函数。 -2- ?1 ? ?0 ?x ?x ? ? ? ? 2 ? ? ?0 ?x ? 3 ? ?0 ? ? ? ? 4 ? ?0 ?x 1 0? ? x1 ? ? 0 ? ? ? ? ? 0 ? 1 0? ? ? x2 ? ? ? 1 ? u , 0 0 1? ? x3 ? ? 0 ? ?? ? ? ? 0 5 0 ? ? x4 ? ? ? 2 ? 0 ? x1 ? ?x ? y ? ?1 0 0 0? ? 2 ? ? x3 ? ? ? ? x4 ? (1.3) 程序: A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0];

B=[0;1;0;-2];

C=[1 0 0 0];

D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果: num = 0 den = 1.0000 0 -5.0000 0 0 -0.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 从程序运行结果得到:系统的传递函数为: G(S ) ? s2 ? 3 s 4 ? 5s 2 ④ [1.2] 从系统的传递函数式求状态空间表达式。

程序: num =[0 0 1 0 -3];

den =[1 0 -5 0 0];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 程序运行结果: A= 0 1 0 5 0 1 0 0 0 0 0 0 -3- 0 B= 1 0 0 0 C= 0 D= 0 0 1 0 1 0 -3 ⑤ [1.3] 对上述结果进行验证编程 %将[1.2]上述结果赋值给 A、B、C、D 阵； A=[0 5 0 0;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];

B=[1;0;0;0];

C=[0 1 0 -3];

D=0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 实验结果： num = 0 den = 1.0000 0 -5.0000 0 0 0.0000 1.0000 0.0000 -3.0000 程序运行结果与[1.1]完全相同。

3.给定一单变量系统传递函数：

G( s) ? 状态空间表达式。

[实验结果] 实验内容 3 的程序：exe3_1.m -4- s 3 ? 7 s 2 ? 24s ? 24 ，求系统的 s 4 ? 10s 3 ? 35s 2 ? 50s ? 24 num=[1 7 24 24];

den=[1 10 35 50 24];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 得到的状态空间表达式为：

A = -10 1 0 0 -35 0 1 0 -50 0 0 1 -24 0 0 0 B = 1 0 0 0 C = 1 7 24 24 D = 0 将上述状态空间表达式转换为传递函数形式：

程序：exe3_2.m A=[-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];

B=[1;0;0;0];

C=[1 7 24 24];

D=0; -5- [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 运行结果：

num = 0 1.0000 7.0000 24.0000 24.0000 den = 1.0000 10.0000 35.0000 50.0000 24.0000 结果与程序 exe3_1.m 已知条件相符，不需要验证。

[实验分析] 当已知系统的状态空间表达式， 我们可以求得系统的传递函数。当已知系统的传 递函数式， 我们也可以求得状态空间表达式。由于一个系统的状态空间表达式并 不唯一,所以程序运行结果有可能不等于原式中的矩阵，但该结果与原式是等效 的。验证结果证明了这个结论。 -6- 实验 2 [实验要求] 状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解 1、进行模型间的相互转换。

2、绘出系统单位阶跃及脉冲曲线。

[实验目的] 1、熟悉线性定常离散与连续系统的状态空间控制模型的各种表示方法。

2、熟悉系统模型之间的转换功能。

3、利用 MATLAB 对线性定常系统进行动态分析 [实验内容] 1、 给定系统 G ( s) ? s 3 ? 2s 2 ? s ? 3 ，求系统的零极点增益模型和状态空间模 s 3 ? 0.5s 2 ? 2s ? 1 型，并求其单位脉冲响应及单位阶跃响应。

2、 已知离散系统状态空间方程： ? ?? 1 ? 2 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? x(k ? 1) ? ? 0 ? 1 1 ? x(k ) ? ?0?u (k ) ? ? ? 0 ? 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? y (k ) ? ?1 2 0?x(k ) ? 采样周期 Ts ? 0.05s 。在 Z 域和连续域对系统性能进行仿真、分析。

[实验结果及分析] 1、 程序：exe2_1.m num=[1 2 1 3];

den=[1 0.5 2 1];

sys=tf(num,den) [z,p,k]=tf2zp(num,den) [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) impulse(sys),hold on step(sys) 程序运行结果：

Transfer function: s^3 + 2 s^2 + s + 3 -----------------------7- s^3 + 0.5 s^2 + 2 s + 1 z = -2.1746 0.0873 + 1.1713i 0.0873 - 1.1713i p = 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i -0.5000 k = 1 A = -0.5000 1.0000 0 -2.0000 0 1.0000 -1.0000 0 0 B = 1 0 0 C = 1.5000 -1.0000 2.0000 D = 1 -8- 单位脉冲响应/单位阶跃响应： Impulse Response 4 3.5 3 2.5 2 Amplitude 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30 Time (sec) 40 50 60 2、 程序：exe2_2.m g=[-1 -2 2;0 -1 1;1 0 -1];

h =[2;0;1];

c =[1 2 0];

d=0;

u=1;

figure(1)%Z域性能仿真图形 sysd=ss(g,h,c,d,0.05) dstep(g,h,c,d,u) hold on;

figure(2)%连续域仿真曲线 sysc=d2c(sysd,'zoh') step(sysc) 程序运行结果：

a = x1 x2 x1 -1 -2 x2 0 -1 x3 1 0 b = x1 x2 u1 2 0 x3 2 1 -1 -9- x3 c = y1 d = y1 1 x1 1 x2 2 x3 0 u1 0 Sampling time: 0.05 Discrete-time model. Z域性能仿真图形： Step Response 5 4.5 4 3.5 3 Amplitude 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec) 3 3.5 4 4.5 5 连续域仿真曲线： - 10 - Step Response 5 4.5 4 3.5 3 Amplitude 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 0.02 0.04 0.06 Time (sec) 0.08 0.1 0.12 和连续系统不同，离散系统中各部分的信号不再都是时间变量 t 的连续函数。 - 11 - 实验 3 [实验目的] 能控能观判据及稳定性判据 1、利用 MATLAB 分析线性定常及离散系统的可控性与可观性。

2、利用 MATLAB 进行线性定常及离散系统的李雅普诺夫稳定性判据。

[实验内容] 1、已知系统状态空间方程： ? 1 0? ?0 ? 1 0? ? ??? 0 0 1? x?? 0 1? u ?x ? ? ? ? （1） ? ? ? ?? 2 ? 4 ? 3? ? ?? 1 1? ? ? ? ? ? 4 3 ? ?0 ? ? ? ?0 20 16 ? ?x ? ?x ? （2） ? ?0 ? 25 ? 20? ? ? ? y ? ?? 1 3 0?x ? 对系统进行可控性、可观性分析。

2、 已知系统状态空间方程描述如下： ?? 3 ? 6 ? 2 ? 1? ?1? ?1 ? 0 0 0? ?0? A?? ? ， C ? ?0 0 1 1? ?0 1 0 0 ?，B ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 1 0? ?0 ?0? 试判定其稳定性，并绘制出时间响应曲线来验证上述判断。

[实验结果及分析] （1） 能控性分析 （2） 程序：exe3_1.m %能控性分析 A=[0 1 0;0 0 1;-2 -4 -3] B=[1 0;0 1;-1 1] Qc=ctrb(A,B) rank(Qc) - 12 - 程序运行结果： A= 0 0 -2 B= 1 0 -1 Qc = 1 0 -1 ans = 3 0 1 1 0 -1 1 1 1 -7 -1 1 1 1 -7 15 0 1 1 1 0 -4 0 1 -3 系统满秩，故系统能控。系统的状态可控性描述了输入对状态的控制能力 （2）能观性分析 程序：exe3_2.m %能观性分析 A=[0 4 3;0 20 16;0 -25 -20] C=[-1 3 0] rank(obsv(A,C)) 程序运行结果： A= 0 0 0 C= -1 ans = 3 3 0 4 20 -25 3 16 -20 系统满秩， 故系统能观。

系统的状态可观性描述了通过输出可以观测状态的能力 2、 程序：exe3_3.m %系统的零极点模型 A=[-3 -6 -2 -1;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];

B=[1;0;0;0];C=[0 0 1 1];D=[0];

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1); - 13 - Flagz=0;

n=length(A);

for i=1:n if real(p(i))>0 Flagz=1;

end end disp('系统的零极点模型为');z,p,k if Flagz==1 disp('系统不稳定');

else disp('系统是稳定的');

end step(A,B,C,D); 程序运行结果：

系统的零极点模型为 z = -1.0000 p = -1.3544 + 1.7825i -1.3544 - 1.7825i -0.1456 + 0.4223i -0.1456 - 0.4223i k = 1 系统是稳定的 - 14 - Step Response 1.4 1.2 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 Time (sec) 25 30 35 40 从图中可以看出，系统是稳定的 - 15 - 实验 4 [实验要求] 状态反馈及状态观测器的设计 1、求出系统的状态空间模型； 2、依据系统动态性能的要求，确定所希望的闭环极点 P； 3、利用上面的极点配置算法求系统的状态反馈矩阵 K； 4、检验配置后的系统性能。

[实验目的] 1、熟悉状态反馈矩阵的求法。

2、熟悉状态观测器设计方法。

[实验内容] 1、 某控制系统的状态方程描述如下： ?? 10 ? 35 ? 50 ? 24 ? ?1 ? ? 1 ?0 ? 0 0 0 ? ?, B ? ? ?, C ? ?1 7 24 24 ? A?? ? 0 ?0 ? 1 0 0 ? ? ? ? ? 0 1 0 ? ? 0 ?0 ? 通过状态反馈使系统的闭环极点配置在 P=[-30，-1.2,-2.4 ? 4i 位置上,求出状 态反馈阵 K,并绘制出配置后系统的时间响应曲线。

2、考虑下面的状态方程模型： ? 0 A ? ?980 ? ? ? 0 [实验结果及分析] 1、 程序：exe4_1.m 1 0 ? ? 0 ? 0 ? 2.8 ?, B ? ? 0 ?, C ? ?1 0 0?, D ? 0 ? ? ? ? 0 ? 100 ? ? ?100 ? ? 要求选出合适的参数状态观测器(设观测器极点为 op=[-100;-102;-103])。 %配置闭环极点,求出状态反馈阵K,并绘制出配置后系统的时间响应曲线 A=[-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];

B=[1;0;0;0];

C=[1 7 24 24];

D=[0];

disp('原系统的极点为');

p=eig(A)'

%求原系统极点 转置 np=[-30;-1.2;-2.4+sqrt(-16);-2.4-sqrt(-16)] - 16 - K=place(A,B,np) disp('极点配置后的闭还系统为');

sysnew=ss(A-B*K,B,C,D) disp('配置后系统的极点为');

pp=eig(A-B*K)'

step(sysnew/dcgain(sysnew)) %求反馈K值 %配置后新系统 %求新系统极点 %dcgain为求最大增益，使得最后结果在0—1 程序运行结果：

原系统的极点为 p = -4.0000 np = -30.0000 -1.2000 -2.4000 + 4.0000i -2.4000 - 4.0000i K = 26.0000 172.5200 801.7120 759.3600 -3.0000 -2.0000 -1.0000 极点配置后的闭还系统为 a = x1 x1 x2 x3 x4 b = u1 x1 x2 x3 x4 c = 1 0 0 0 -36 1 0 0 x2 -207.5 0 1 0 x3 -851.7 0 0 1 x4 -783.4 0 0 0 - 17 - x1 y1 d = u1 y1 0 1 x2 7 x3 24 x4 24 Continuous-time model. 配置后系统的极点为 pp = -30.0000 -2.4000 - 4.0000i -2.4000 + 4.0000i -1.2000 Step Response 1.4 1.2 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Time (sec) 2 2.5 3 3.5 2、 程序：exe4_2.m %选出合适的参数状态观测器 A=[0 1 0;980 0 -2.8;0 0 -100];

B=[0;0;100];

C=[1 0 0];

D=[0];

op=[-100;-102;-103]; - 18 - disp('原系统为');

sysold=ss(A,B,C,D) disp('原系统的闭还极点为');

p=eig(A) n=length(A);

%求A阵维度 Q=zeros(n);

% 为n维0阵 Q(1,:)=C;

%C阵为Q第一行 for i=2:n Q(i,:)=Q(i-1,:)*A;

end m=rank(Q);

if m==n H=place(A',C',op')';

else disp('系统不是状态完全可观测') end disp('状态观测器模型');

est=estim(sysold,H) disp('配置后观测器的极点为');

p=eig(est) 程序运行结果：

原系统为 a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 980 0 -2.8 x3 0 0 -100 b = u1 x1 0 x2 0 x3 100 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 原系统的闭还极点为 p = 31.3050 -31.3050 - 19 - -100.0000 状态观测器模型 a = x1 x2 x3 b = x1 -205 -1.051e+004 0 x2 1 0 0 x3 0 -2.8 -100 u1 x1 205 x2 1.149e+004 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 y2 1 0 0 y3 0 1 0 y4 0 0 1 d = u1 y1 0 y2 0 y3 0 y4 0 Input groups: Name Channels Measurement 1 Output groups: Name OutputEstimate StateEstimate Continuous-time model. 配置后观测器的极点为 p = -103.0000 -102.0000 -100.0000 Channels 1 2,3,4 - 20 - 实验 5 [实验要求] 熟练掌握李雅普诺夫方法 [实验目的] 控制系统的李雅普诺夫稳定分析 熟悉李雅普诺夫第一方法的应用。

熟悉李雅普诺夫第二方法的应用。

[实验内容] 1.某控制系统的状态方程描述如下： ?? 3 ? 6 ? 2 ? 1? ?1? ?1 ? ?0 ? 0 0 0? ? A? , B ? ? ?, C ? ?0 0 1 1? ，用李雅普诺夫第一方法判断系 ?0 ?0 ? 1 0 0? ? ? ? ? 0 1 0? ?0 ?0 ? 统是否稳定。

2、系统为 ?1 ? ?? ?2 ? ?? 1 y ? ?1 0 ? ? 3.5 ? 4.5 1.5 1?x ? ?? 0.5? ? x ? ?? 0.5?u ? ? ? ? ? ? 2.5? ? 0 . 5 ? ? ? 4.5 4.5 试由李雅普诺夫第二方法判别系统的稳定性。 [实验结果及分析] 1 .源程序：exe5_1.m %用李雅普诺夫第一方法判断系统稳定性 A=[-3 -6 -2 -1;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0] ;

B=[1;0;0;0;];

C=[0 0 1 1];

D=[0];

flag=0;

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1);

disp('System zero-points,pole-points and gain are:');

z p k n=length(A);

for i=1:n if real(p(i))>0 - 21 - flag=1;

end end if flag==1 disp('System is unstable');

else disp('System is stable');

end 程序运行结果：

System zero-points,pole-points and gain are: z = -1.0000 p = -1.3544 + 1.7825i -1.3544 - 1.7825i -0.1456 + 0.4223i -0.1456 - 0.4223i k = 1 System zero-points,pole-points and gain are: z = - 22 - -1.0000 p = -1.3544 + 1.7825i -1.3544 - 1.7825i -0.1456 + 0.4223i -0.1456 - 0.4223i k = 1 System is stable 2.源程序：exe5_2.m %用李雅普诺夫第二方法判断系统稳定性 A=[1 -3.5 -4.5;2 -4.5 4.5;-1 1.5 -2.5];

%Q=I;

Q=eye(3,3);

P=lyap(A,Q);

flag=0;

n=length(A);

for i=1:n;

det(P(1:i,1:i)) if (det(P(1:i,1:i))<=0) flag=1;end end if flag==1 disp('System is unstable');

else disp('System is stable');

end 程序运行结果：

ans = - 23 - -47.9238 ans = -119.5807 ans = -13.2338 System is unstable - 24 - 

七、 实验报告 1、根椐已知的系统传递函数(自拟或选择现代控制理论课本中例题或习题) ,将 传递函数模型转换为状态空间模型.写出设计的MATLAB程序和运行结果. 2、根...

《现代控制理论》实验指导书 现代控制理论》 王璐 自动化 07-1 班 山东科技大学机电系 《现代控制理论》实验 实验一 一、实验目的 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换 1. ...

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