[二面角求法赏析] 二面角的求法

　　方法一利用二面角的平面角的定义求作平面角 　　利用二面角的平面角的定义，过棱上某一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所成的平面角即是二面角的平面角.一般地，可以经过棱上的特殊点，如中点、分点、端点等作平面.
　　如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点.
　　图1
　　（1）求直线AD与平面PBC的距离；
　　（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.
　　解：（1）略.
　　（2）过D作DF⊥CE，交CE于F；过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求二面角的平面角.由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==.在Rt△CBE中，有CE==.由CD=知△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin=.因为AE⊥平面PBC，所以AE⊥CE.又由FG⊥CE知FGAE，从而FG=，且G点为AC的中点.连结DG，则在Rt△ADC中，DG=AC==.因此cos∠DFG==，即二面角A-EC-D的平面角的余弦值为.
　　方法二利用三垂线法作平面角
　　我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法.其作图模型为：
　　图2
　　如图2，在二面角α-l-β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B（或过A点作AB⊥l于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），则∠ABO为二面角α-l-β的平面角．
　　作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB）后连结AB（或OB）.
　　这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中有以下几种情况：
　　1．善于利用图中已有的“第一垂线”
　　如图3，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点.
　　（1）（2）略；
　　（3）求二面角B－DE－C的大小.
　　图3
　　解：（1）（2）略.
　　（3）因为EF⊥FB，∠BFC=90°，所以BF⊥平面CDEF.在平面CDEF内过点F作FK⊥DE，交DE的延长线于K，则∠FKB为二面角B－DE－C的平面角.设EF=1，则AB=2，FC=，DE=.又EF∥DC，所以∠KEF=∠EDC，sin∠KEF=sin∠EDC=，且FK=EF•sin∠KEF=，因此tan∠FKB==，从而∠FKB=60°，即二面角B－DE－C的大小为60°.
　　2．借助第三个平面，作“第一垂线”
　　已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.
　　（1）略；
　　（1）求二面角M－BC′－B′的大小；
　　（3）略.
　　图4
　　解：（1）略.
　　（2）取BB′的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC′B′.过点N作NH⊥BC′于H，连结MH，则由三垂线定理得BC′⊥MH，从而∠MHN为二面角M－BC′－B′的平面角.因为MN=1，NH=BNsin45°=，所以在Rt△MNH中，tan∠MNH==2.故二面角M－BC′－B′的大小为arctan2.
　　（3）略.
　　如图5，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC=BC，AA′=AB，D为BB′的中点，E为AB′上的一点且AE=3EB′.
　　图5
　　（1）略；（2）设异面直线AB′与CD的夹角为45°，求二面角A′－AC′－B′的大小.
　　解：（1）略.
　　（2）作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点，连结DG，则DG∥AB′，所以∠CDG为异面直线AB′与CD的夹角，故∠CDG=45°.设AB=2，则AB′=2，DG=，CG=，AC=.作B′H⊥A′C′，H为垂足.因为底面A′B′C′⊥平面AC′，所以B′H⊥平面AC′.过H作HK⊥AC′，K为垂足，连结B′K.由三垂线定理得B′K⊥AC′.所以∠B′KH为二面角A′－AC′－B′的平面角.又B′H==，HC′==，AC′=.由相似知=，所以HK=，故tan∠B′KH==.因此二面角A′－AC′－B′的大小为arctan.
　　方法三利用线线角
　　欲求α，β两平面所成的二面角，可找分别与α，β两平面垂直的两直线，记为a，b，则直线a，b所成的角或其补角为α，β两平面所成的角.此法是把求面面角的问题转化为求线线角的问题.
　　如图6，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.
　　图6
　　（1）证明：PC⊥平面BEF；
　　（2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
　　解：（1）略.
　　（2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.又PA∩AB=A，故BC⊥平面BAP.由（1）知PC⊥平面BEF，故PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角.在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，故∠PCB=45°，即平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
　　方法四利用向量求二面角的大小
　　利用两个半平面的法向量或利用在两个半平面内都垂直棱的两个向量的夹角求二面角的大小.由于向量的夹角具有方向性，故向量的夹角可能是二面角的大小也可能是其补角.当未给出二面角的棱时，用向量求角会更有利.
　　策略一，利用在两个半平面内都垂直棱的两个向量的夹角.
　　如图7所示，空间四边形PABC中，∠APC=90°，∠APB=60°，PB=BC=4，PC=3，求二面角B－PA－C的余弦值.
　　图7
　　解：作BD⊥AP，D为垂足.因为CP⊥AP，所以二面角B－PA－C的大小等于〈，〉.
　　在Rt△PBD中，BD=PBsin∠DPB=2，DP=PB•cos∠DPB=2.
　　因为=++，所以2=2+2+2+2•+2•+2•，即42=（2）2+22+32+2×2×3cos〈，〉.解得cos〈，〉=－，cos〈，〉=，即二面角B－PA－C的余弦值为.
　　策略二，利用平面的法向量求解.
　　设n1是平面α的法向量，n是平面β的法向量.①若两个平面的法向量如图8所示，则n1与n2之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的法向量如图9所示，设n1与n2之间的夹角为θ，则两个平面的二面角为π－θ.
　　如图10，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小.
　　图10
　　解：平面SAB的法向量是，平面SCD的法向量可设为n=λ+μ+.
　　因为SA⊥平面ABCD，所以•=0，•=0，•=0.
　　又AB⊥AD，AB⊥BC，故•=0，•=0.
　　由n•=（λ+μ+）•（++）=－λ2+λ•+μ2=－λ+λ+μ=λ+μ=0，又n•=（λ+μ+）•（－）=2－λ2=1－λ=0，所以λ=4，μ=－1，故n=4－+，因此n•=（4－+）•=42=1.
　　因为n2=（4－+）2=162+2+2=6，所以n=.
　　设θ表示平面SCD与平面SAB所成二面角，则cosθ==，所以θ=arccos.
　　方法五利用坐标法求二面角的大小
　　所谓坐标法，就是建立空间直角坐标系，求出二面角两个半平面的法向量m，n，则m，n两向量所成的角或其补角的大小就是二面角的大小.此法是高考求二面角的常用方法，思维简单但有一定计算量，因此要求较高的运算能力，运用此法时要清楚二面角为锐角或钝角.
　　如图11，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2.
　　图11
　　（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
　　（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.
　　解：（1）略.
　　（2）取CD中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图10.
　　因为OB=OM=，所以C（1，0，0），M（0，0，），B（0，－，0），A（0，－，2）.易得=（－1，0，），=（－1，－，2），设平面ACM的法向量为n1=（x，y，z），由n1⊥n1⊥得－x+z=0，－x－y+2z=0，解得x=z，y=z.取n1=（，1，1）.又平面BCD的法向量为n=（0，0，1），则cos〈n1，n〉==.设所求二面角为θ，则sinθ==.
　　如图12，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
　　图12
　　（1）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；
　　（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
　　解：（1）略.
　　（2）过O作ON⊥AO交AB于N，以O为原点，直线OA，ON，OC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图11，则A（1，0，0），C（0，0，1），B－，，0.记平面ABC的法向量为n=（n1，n2，n3），由n⊥，n⊥，得n1－n3=0，－n1+n2=0，故可取n=（1，，1）.
　　又平面OAC的法向量为e=（0，1，0），所以cos〈n，e〉==.
　　二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则cosθ=.
　　方法六利用射影面积法求二面角的大小
　　已知△ABC的边BC在平面α内，顶点A?埸α.设△ABC的面积为S，它在平面α内的射影面积为S1，且平面α与△ABC所在的平面所成的二面角为θ，则cosθ=，再根据θ的取值范围求θ.
　　如图13，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=BE=AF=FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
　　（1）求二面角A′－FD－C的余弦值；
　　（2）略.
　　解：（1）取线段EF的中点H，AF的中点G，连结A′G，A′H，GH.
　　因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF.
　　由题有FD=6，A′H=2，GH=2，A′G=2.设二面角A′－FD－C的大小为θ，则cosθ=====.
　　故二面角A′－FD－C的余弦值为.