学生理解性错误成因分析及教学对策探究 执行难的成因及对策

　　学生已有的知识经验与科学概念表面相似，结构也相似，那就能促进理解的达成；当已有的知识经验与科学概念结构不同，表面相似，则容易导致各种理解错误的产生。学生的理解性错误往往由于主客观不一致所导致。教师应根据小学生在数学知识的表征、数学模式识别以及数学学习的自我监控等理解过程中的共性规律，采取教学应对措施，帮助学生防错纠错。为此，笔者进行了教学实践、调查、分析研究，提出如下建议。
　　1．回归知识本原。
　　这里的“本原”指的是隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。从旧知到新知是概念的一次扩展，也是学生数学理解上的一个重要拐点。在教学时，教师要遵循“还原”理念，让新知牢牢地稳固在知识本原这根中心轴上，以保证知识更好地再生。任何脱离本原的教学，都因为不可能“螺旋式”前进，从而变成难点。
　　例如，画平行线是小学生学习的难点，要经历“贴、靠、移、画”四个步骤。学生不明白为什么要“靠”，用什么“靠”。其实，从运动的观点观察直线的位置关系，平行是直线平移运动的状态。因此，平行的数学本质是直线的平移运动，画平行线的本质是使画直线的工具发生平移运动。教师教学中可以“窗户轨道”作为载体，把生活原型提炼成数学模型，借助“事理”理解“数理”，让学生不仅知其然，而且知其所以然，数学操作技能的形成就会“像呼吸一样自然”生长。
　　2．制造认知冲突。
　　学生常常在我们称为“教学难点”的地方出错，仔细分析一下就会发现，这种情况常常发生在知识的不连续处，或者是特殊知识系列的起点处。美国华盛顿大学物理教育家莉莲・麦克德莫特提出，转变学生前概念需经历“引出、挑战、转换”一系列过程。这就需要教师善于预见学生的认知错误，为学生创设有效便捷的学习环境，防患于未然。针对学生的易错点，教师可精心设计一些“陷阱”， 暴露学生的前概念，从而巧妙地在新知和已有认知结构之间引发冲突，强化首次感知。
　　例如，学生解答“一根绳长3/5米，用去1/5，还剩全长的几分之几”这道题，普遍错误率较高。因为学生在潜意识里早就形成了“解题就是用题目给的数据加减乘除”的认识，再加上学生对分数表示数量和分率这两种形式的区分度不敏感，于是出现了用“3/5-1/5=2/5”这样的错误。为防患于未然，在新授分数应用题教学时，我决定制造一次强刺激。我不作任何提示，直接呈现上述样例，指名数学课代表解答。基于“明星效应”，全班学生竟然不假思索，一致认为课代表的错误解法是对的。我默不做声，狠狠地打上了一个大大的“×”，给学生的心灵来了一次巨大的冲击。学生一下子愣住了，奇怪，怎么全班都错了？思维的大门在疑惑中开启，随即，深刻的反思纠偏在热烈地进行：在数量和分率的辨析中，在不能犯“人减狗的错误”的比喻中，在绳长与结果变与不变的验证中，单位“1”这个“天外来客”深深地“印刻”在学生的脑海中。在期末的检测中，我班此类题正确率达98%。
　　3．重视多元表征。
　　表征是信息在头脑中的呈现方式。有研究人员把学生对概念的表征分为五种：书面符号表征、图形表征、相关情境表征、实物操作性表征以及日常语言表征。表征类型与内涵的缺乏，以及表征之间联系的不丰富、不稳定、强度与自洽程度不够，都将导致个体对数学理解的不全面、甚至是误解。教师要关注学生经验世界中表现出来的对数学理解上的最本真的状态，从某些优势性的表征类型入手，给予学生表征间联系的丰富机会，帮助学生全面、精确、深刻地理解知识的本质特征，促进数学理解的深入。
　　五年级学生用倒推的策略解决类似“小军原有一些画片，送给小明一半还多1张，还剩25张。小军原有多少张画片”这样的问题时，由于学生对“送了一半多一张”不能正确表征，出错率较高。究其原因，一方面本题涉及两个角色同时发生变化，学生弄不明白该从谁的角度出发进行思考，见“多”就加；另一方面本题还牵涉到倒推“序”的问题，即在倒过去想的时候，不仅要逆着事情变化的顺序进行，还要注意把后发生的变化先倒回去，再把先发生的变化倒回去，直至事情发生的初始状态。
　　经过研讨，我们采用了“画路线变化图”这一教学方法，快捷地“可视化”地呈现变化过程。教师引导学生针对两种不同的变化路线图，展开激烈的辨析讨论：究竟哪一种变化图是正确的？
　　
　　学生纷纷用自己的方式对“送了一半多一张”的意思进行表征：
　　①言语表征：把“送了一半多一张”这一句话分开来叙述，“先送一半，再送一张”。
　　②图形表征：
　　③计算表征：学生计算出结果顺推，从而求证路线图的正确性。
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　　在教学中，教师为学生提供了具有丰富表征形式的学习机遇，使学生建立了多元表征形式之间的相互支持与彼此联系，促进学生理解的生成和完善。
　　4．强化变式对比。
　　比较、对照和分组，是发展数学理解不可或缺的步骤。在形成新概念、学习新知识后，教师要引导学生将相近、相似、易混、易错和一些形式上相似，实质不同，容易混淆的内容进行比较，让学生在比较中鉴别隐含在不同问题背后的实质性数学内涵。例如，学生学习了乘法分配律后，出现了题①的错误，我即时呈现题②，让学生进行对照比较，分析异同，为什么题②可以用分配律进行简算，而题①却不行。通过辨析，学生理解到题②可以简算的真正原因是因为“除以一个数就是乘以这个数的倒数”，其本质是运用了乘法分配律。
　　① 5÷（+） ② （+）÷5
　　 ＝5÷+5÷ ＝÷5+÷5
　　 ＝7+9 ＝+
　　 ＝16 ＝
　　5．养成反思习惯。
　　反思是学生对自己认知过程、认知结果的监控和体会。它既包括问题表征的反思、对策略选择的反思、对模式识别的反思、对推理过程的反思，也包括解题后对问题及方法的反思。教师引导学生进行反思、学会反思、养成批判与反思的习惯，可以减少或避免错误的发生。例如，当学生出现了0. 75÷0.12=6……3这一典型错误时，我首先引导学生观察分析：“你从哪儿看出余数有问题？”学生很快找到了三种判断错误的方法：与除数比，与被除数比，用6×0.12＋3≠0. 75进行验算。紧接着，我又问：“出现这类错误的主要原因在哪里？想一想，自己为什么没有得到正确的答案？应该怎样纠正？”这样教学不仅让学生“知其错”，更“知其所以错”。学生在纠正错误的同时，深化了对知识的理解。在平时的教学实践中，教师要指导学生将一些典型错例记录下来，并按照知识体系整理归类。教师可以结合教学进度，安排专门的错例剖析课，让学生在找错、改错中，反思问题所在，剖析出错的根源，促进数学理解的深度建构。
　　总之，教师对学生的错误要持积极的态度，把学生的错误看做是其数学成长历程中的一个阶段，帮助学生析错、纠错、防错。这就要求我们教师在教学中应通过紧扣知识本原，制造认知冲突，加强知识间的分析比较，培养学生良好的反思习惯，促进学生发展。
　　（责编 蓝 天）