[《黄河清“问题导学”教学法》复习课教学课例评析]

　　“黄河清问题导学教学法”复习课教学模式，将教学过程结构分为四个环节：知识回顾―自主构建―应用探索―总结归纳.每个环节都有明确的教学核心要素，为教学的组织实施提供了一条明确清晰的思路和范式，有助于有效提高教学效益，促进学生能力的发展.�
　　以下以黄河清老师“降幂变换与添加辅助角（高三第二轮复习课）”一节课的教学为例，就“四环节”的实施进行简要的解读.（注：教学过程有删减）.�
　　
　　一、知识回顾�
　　问题1：在第一轮复习中，我向同学们提出了复习基础知识的基本要求，还记得它是什么吗？�
　　――“不仅求会，更要求联（系）”.就是说，不仅要理解知识的内涵、外延等本质特征，更要思考数学知识、方法间的相互联系，特别是它们在不同章节是怎样应用的，重在抓住“联系”这个核心要素.�
　　问题2：在第二轮复习中，我们要树立怎样的复习观念呢？�
　　对于基本方法――“不在求全，而应求变”.�
　　因为，我们是不可能把所有数学方法都能做到熟练掌握，但是，我们可以学习“变化”，将我们所熟悉的数学方法的内涵和本质延伸、迁移，将相关问题转化求解，做到举一反三.�
　　怎样变化？本节课通过对两种基本方法的复习与研究，学习如何将有关问题进行转化求解.�
　　二、自主构建�
　　基本问题研究：�
　　问题3：请同学们观察以下问题：�
　　（1）将a�sin�x＋b�cos�x化为一个角的三角函数形式；�
　　（2）求y＝�cos�x＋�sin�x的最大值和最小值；�
　　（3）求y＝�sin��2x＋2�sin�x�cos�x＋3�cos��2x的最大值和最小值.�
　　你能发现这三个式子间的关系吗？�
　　分析：这三个问题，分别是课本例题、课本习题、高考题（多次出现），它们是密切相关的.在（1）中令a＝b＝1，得（2）；（2）中用2x代x，按二倍角展开，再添加常数1（1＝�sin��2x＋�cos��2x），化简后即为（3）.�
　　可见，它们虽然形式不同，但从解题的本质上说都是一样的：可化为一个角的三角函数求解.（1）、（2）形式比较明显，困难就在于，怎样把（3）化为（1）、（2）的形式？�
　　解：y＝�sin��2x＋2�sin�x�cos�x＋3�cos��2x�
　　
　　�=1-�cos�2x2+�sin�2x+3•1+�cos�2x2
　　�=2+�sin�2x+�cos�2x
　　�＝2�sin�(2x+�π�4)+2.
　　�所以函数y＝�sin��2x＋2�sin�x�cos�x＋3�cos��2x的最大值为2+2，最小值为2-2.�
　　问题4：三个问题的解决中都用到了哪些重要的数学变换？�
　　（1）降幂变换：�sin��2x=1-�cos�2x2，�cos��2x=1+�cos�2x2；�
　　（2）添加辅助角：a�sin�x+b�cos�x=a�2+b�2�sin�(x+φ)，其中φ由�tan�φ=ba确定.�
　　这两种变换是我们解决一类可化为y=A�sin�(ωx+φ)+B问题的基本方法，也是我们这节课要熟练掌握的方法.�
　　教学思考：我们经常强调要让学生“回到”课本，怎样“回”？教师要有具体的方法指导.这就需要教师加强研究，看看高考的要求是如何在课本的基础上变化、提高的，研究这种“变”的依据是什么，它是如何拓展的，帮助学生深入理解课本知识的基础性，做到正本清源，抓住根本.�
　　三、应用探索�
　　典例精析（2006年高考题）：�
　　【例1】 已知函数f(x)=2�sin��2x+23�sin�x�cos�x+1.�
　　（1）写出f(x)的单调递增区间；�
　　（2）若不等式f(x)－m≥0对一切x∈［0，�π�2］都成立，求实数m的最大值．�
　　问题5：本题与上述范例有哪些联系与区别？�
　　共同点：所给式子都有二次项，都有两项积�sin�x�cos�x，都是研究函数的性质（如定义域、值域、单调性、周期性等问题）.�
　　不同点：将问题引申到不等式中，或者说一类不等式问题也可以转化为研究三角函数的性质问题.�
　　解：（1）∵f(x)=1－�cos�2x+�3sin�2x+1=2�sin�(2x-�π�6)+2，
　　令2k�π�-�π�2≤2x-�π�6≤2k�π�+�π�2(k∈Z)，解得k�π�-�π�6≤x≤k�π�+�π�3(k∈
　　Z),
　　
　　∴f(x)的单调递增区间是［k�π�-�π�6,k�π�+�π�3］(k∈Z).�
　　（2）∵0≤x≤�π�2，∴-�π�6≤2x-�π�6≤56�π�，
　　∴-12≤�sin�(2x-�π�6)≤1，�
　　∴1≤f(x)≤4，∴m≤1，即m的最大值为1.�
　　问题6：从这道例题的解答中你能得到什么启示？�
　　（1）要研究三角函数性质，通过降幂变换、添加辅助角两种基本方法转化为y=A�sin�(ωx+φ)+B，进而求解，这是解决此类类问题的通法；�
　　（2）对一类恒成立问题，可化为求目标函数f(x)的最大（小）值来求解.学会比较，是实施转化的前提，只有注重求同存异，才能引发联想，做到举一反三，触类旁通.�
　　教学思考：例题的一个重要功能就是它的启发性.本题通过研究例题与引入问题的三个式子的联系：形式上、方法上有何区别与联系，让学生抽象出本质的东西――数学的思想方法：降幂变换与添加辅助角.而在变化的过程中，相比前面观察的三个式子在哪些方面有创新？这种总结、思考，正是培养学生思维深刻性的重要手段.�
　　【例2】 设函数f(x)=a•（b+c)，其中a=(�sin�x,-�cos�x)，b=(�sin�x,-3�cos�x),c=(-�cos�x,�sin�x),x∈R.
　　（1）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（2）将函数y=f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称.求长度最小的d.�
　　分析：本题有两个突出的特点：一是它没有直接给出含三角函数的等式，而是以向量为载体，通过转化才能化为类似例1的形式；二是对于问题（2），无论是用代数方法解还是通过图象法求解，怎样选取向量d对一些同学都是认知上的难点，要认真把它弄清.�
　　解：（1）由f(x)=a(b+c)=(�sin�x,-�cos�x)(�sin�x-�cos�x,�sin�x-3�cos�x)
　　=�sin�2�x-2�sin�x�cos�x+3�cos��2x=2
　　+�cos�2x-�sin�2x=2�sin�(2x+34�π�)+2
　　，
　　故f(x)的最大值为2+2，最小正周期为�π�.�
　　（2）方法1：由�sin�(2x+34�π�)=0得2x+34�π�=k�π�，即x=k�π�2-38�π�,k∈Z，
　　
　　于是d=(38�π�-k2�π�,-2)，｜d｜＝(k�π�8-3�π�8)�2+4(k∈Z).
　　�
　　要使d最小，则只有k=1，此时d=(-�π�8,-2)为所求.�
　　
　　
　　法2：描点作图，依题意，按向量d平移，
　　使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，
　　这样的向量d有无数个，而长度最小的d
　　只有一个，就是向量�BO�，即d=(-�π�8,-2).
　　�
　　通过例题的解答我们可以看出，这类问题的共性就是要化为一个角的三角函数求解，而“万变不离其宗”，前提就是要掌握“降幂变换、添加辅助角”两种基本方法，在此基础上，问题可以拓展到与其他知识的联系和整合上，衍生为综合性的问题.�
　　教学思考：学习是为了应用.例题中抽象出来的方法能否引申为一般的方法，对相关问题的解决是否有指导意义？这都是教师要引导学生深入思考的.特别地，对于以其他知识为载体的有关问题，能否利用化归的思想转化为三角函数问题来处理？怎样应用？通过教师的引导，让学生进行探寻、引申，对培养学生解决问题的意识和能力都是非常重要的.�
　　课堂练习：
　　已知a=(3�sin�ωx,1)，b=(�cos�ωx，0)，�ω＞0，�又函数f(x)=a•(a-kb)(k＞0)是以�π�2为最小正周期的周期函数.�
　　（1）求函数f(x)的值域；�
　　（2）若函数f(x)的最大值为52+3，则是否存在正实数t，使得函数f(x)的图象能由函数g(x)=ta•b的图象经过平移得到？若能，求出实数t并写出一个平移向量m；若不能，请说明理由.�
　　四、总结归纳�
　　问题7：本节课我们复习了哪些知识？你有哪些收获？�
　　（1）要熟练掌握“降幂变换、添加辅助角”两种基本方法，顺利解决可化为一个角的三角函数的有关问题；�
　　（2）注重三角函数与其他知识的交汇点和相互关系，树立转化的意识，透过现象看本质，将问题化归到我们熟悉的问题情境中来求解.�
　　作业：
　　1.已知函数f(x)=�sin��2x+�3sin�x�cos�x＋2�cos��2x，x∈R.
　　（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
　　（2）函数f(x)的图象可以由函数y＝�sin�2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？�
　　2.已知三角形ABC的面积S满足3≤S≤3，且�AB�•�BC�=6,�AB�与�BC�
　　的夹角为θ.
　　（1）求θ的取值范围；
　　（2）求函数f(θ)=�sin��2θ+2�sin�θ�cos�θ+3�cos��2θ的最小值.�
　　
　　“黄河清问题导学教学法”复习课教学特色主要体现在三个方面：�
　　一是特别关注怎样使复习课既要加强基础、提高能力、发展智力，又要有针对性，特别是针对学生“惑”的问题.�
　　二是特别注重思考复习课怎样上出新意，创建激发学生探索欲望的“亮点”.�
　　三是精心思考复习课怎样去设计高水平的思维训练活动，保证课堂的思维量.�
　　我们就复习课的几个环节来分析、感悟黄老师的教学思想.�
　　一、知识回顾�
　　“知识回顾”是一节复习课的基础，其重点在于两个方面：一是引导学生系统回顾所学知识；二是有针对性地对疑难问题进行分析、讲解，强化学生对所学基础知识的理解和对基本方法的掌握.�
　　在这一环节中，黄老师的两个问题可谓“画龙点睛”：�
　　问题1：在第一轮复习中，我向同学们提出了复习基础知识的基本要求，还记得它是什么吗？�
　　问题具体化，引导学生有针对性地去思考、回忆复习基础知识的重要策略――“注重联系”，形成有效铺垫.�
　　问题2：在第二轮复习中，我们要树立怎样的复习观念呢？�
　　激发学生思考，自主寻找第二轮复习的抓手，教师再提炼、总结，提出第二轮复习的策略：对基本方法――“不应求全，而应求变”.这种明确的教学目标要求，能给学生强烈的信号，提升了学生对学习的积极性和关注度，为教师如何对“不应求全，而应求变”进行解读打下很好的基础.�
　　二、自主构建�
　　自主构建是一节复习课的重点.复习课对学生掌握基础知识和基本方法的要求与新授课是有区别的.对基础知识，复习课重在引导学生建立知识间的联系，学会综合运用；对基本方法重在引导学生“学会变化”.通过变化，将方法的内涵和本质延伸、迁移，转化为相关问题进行求解.因此，这一环节上的主要任务，就是要围绕“变化”这个关键词来展开.�
　　黄老师是怎样实现这样的教学思考呢？�
　　首先，通过“问题3：请同学们观察以下问题：（1）将a�sin�x＋b�cos�x化为一个角的三角函数形式；（2）求y＝�cos�x＋�sin�x的最大值和最小值；（3）求y＝�sin��2x＋2�sin�x�cos�x＋3�cos��2x的最大值和最小值.你能发现这三个式子间的关系吗？”有机地将课本例题、课本习题、高考题联系起来，让学生看到高考题并不神秘，而是我们平常学习的引申、拓展.面对“问题”在“变”，我们怎么去应对呢？那就是要紧紧抓住数学的思想方法，用“变化”的观点，将数学问题转化到重要的数学思想方法上来.然后，自然地引出“问题4：三个问题的解决中都用到了哪些重要的数学变换？”让学生通过这种前后知识的联系，抓住“两种变换”这个切入点，将本节课主要内容突出地展现在学生面前，将知识、方法串联起来，促进学生形成完整的认知结构.�
　　三、应用探索�
　　应用探索是一节复习课的关键.知识是“死”的，而运用则是“活”的，学习的知识能否真正为已所用，通过解决实际问题就可以很好地检验.因此，精选有针对性和典型性的例题、习题，引导学生探索，既强化学生知识的系统性，又注重纠正学生应用知识可能出现的问题和偏差，这是这一环节的重要任务.�
　　本节课，黄老师设置了两道范例和一道训练题，我们看看例1中黄老师是怎样提出问题引导学生思考的.�
　　问题5：本题与上述范例有哪些联系与区别？�
　　问题6：从这道例题的解答中你能得到什么启示？�
　　问题的设置注重了以知识技能、知识间的纵横联系及思想方法等作为主线，适当地为学生搭建了阶梯，让学生“想探索、能探索”，激活了学生的思维，使学生能够在教师的引导下自主分析、自主构建，这对提高学生的思维能力是非常重要的.而在问题解决的过程中，黄老师十分注重对学生的独到见解进行评价，告诉学生其发现的方法特点是什么，有何启发性，运用到了哪些数学思想，或者为何探索受阻，问题的根源是什么等.通过点评，帮助学生总结规律，促进学生举一反三，触类旁通，这对学生形成解题的经验、提高解题能力有重要的影响.�
　　四、总结归纳�
　　总结归纳是一节复习课的升华.怎样优化知识结构、掌握解题方法、感悟数学思想、形成知识网络，需要教师引导学生进行归纳、总结，帮助学生形成知识经验.�
　　本节课黄老师的总结注重了三个层面的问题解决：�
　　一是通过问题7，引导学生归纳本节课教学的核心内容，并作了补充、完善，它包括：重要知识点的内涵、外延，探索过程所运用到的主要数学思想方法，本节课的“亮点”所在，学生存在的主要问题等.�
　　二是总结归纳知识网络.黄老师注意将学生的个体归纳与全体归纳相结合，让学生既有思维的独立又有相互的借鉴，易于理解、记忆和掌握.�
　　三是注重强化抽象、概括的过程.因为学生的自主归纳往往带有很强的局限性和不完整性，需要及时引导和纠正，将完整的知识体系和数学思想方法呈现给学生，这对培养学生思维的全面性和深刻性有重要的作用.�
　　综合来看，黄老师在这节课中的“问题导学”分四个层面：（1）让学生观察分析三个式子（来自课本例题、习题、高考题），探索发现它们之间的关系――怎样相互变化而来？（2）引导学生分析一个典型例题（2006年高考题），研究例题与这三个式子的联系：形式上、方法上有何区别与联系，让学生抽象出本质的东西――数学的思想方法；（3）让学生反思解这个例题所引发的思考、启示；（4）引导学生运用总结提炼的思想方法进一步对其他问题进行探寻、引申.这四个问题都是学生学习中的困惑，在“最近发展区”之中，且与课本密切相关.解决问题的过程不偏离基础知识、基本技能、基本方法，又激活转化能力，深化思维要求，学生学习情绪十分高涨.这种既突出了以解决学生认知上的难点为主线，又促进学生进行高水平思维训练的教学风格，正是黄老师“问题导学”教学思想的体现，也是作为一名数学老师应该追求的境界.�
　　
　　(责任编辑 金 铃）