例谈波利亚的“怎样解题表”在教学中的应用 怎样解题 波利亚

　　波利亚在他的《怎样解题》一书中,将解题的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问题或建议表达出来,使之更有启发意义。“怎样解题表”按照人们解决问题时思维的自然过程分成四个阶段――弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾,组成了一个完整的解题教学系统。这个系统集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身,融理论与实践于一体。
　　下面结合“两角和的余弦公式”的推导,举例说明波利亚的“怎样解题表”在教学中的应用。
　　两角和的余弦公式是整个三角公式体系的“源头”。公式的推导是本节课的教学难点,如果教学中忽视公式的推导过程,“直抛公式”让学生死记硬背公式的结论,无疑是降低教学要求、违背教学规律的做法。
　　为了突破本节课的教学难点,我运用波利亚的“怎样解题表”中的提示语,引导学生独立思考,自主探索。过程如下:
　　① 弄清问题:
　　问:未知数是什么?
　　答:角 的余弦。
　　问:已知数据是什么?
　　答:角 和角 的三角函数。
　　② 拟定计划:
　　问:以前见过它吗?
　　答:没有。
　　问:看看所求,能想起一个已经解决的类似的问题吗?
　　答:想起了诱导公式的推导方法。
　　问:能利用它的方法吗?
　　答:推导诱导公式时用了三角函数的坐标法定义,这里可以试一试。
　　在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,使角α的始边为Ox,交圆O于点P1 ,终边交圆O于点P2 ,由三角函数的定义写出P2 (cosα ,sinα)。可以在角α的逆时针方向“接”一个角β。以OP 为始边作角β,终边交圆O于点P3 ,这样OP3 就是角 α+β 的终边,由三角函数的定义写出P3(cos(α+β ),sin(α+β))。
　　问:是否已经利用了所有已知数据?
　　答:点P2, P3 的坐标中已经出现了角 和角α+β的三角函数,还缺少角 的三角函数,应设法让它出现。
　　问:如何出现角β的三角函数?
　　答:仍然利用三角函数的坐标法定义,需要再作一个角。作图应考虑作出的角β的终边与圆O的交点的坐标中能出现与角 有关的三角函数,同时又要出现角α+β。故以Ox轴为始边作角-β,终边交圆O于点P4 ,由三角函数的定义,写出P4 (cos(-β),sin(-β))
　　问:为了建立角α+β的三角函数与角α,角β的三角函数的关系,是否应该引入某些辅助线?
　　答:注意到 ,连接P1P3 与P2 P4 ,由平面几何知识有 = ,根据两点间距离公式得:
　　[cos(α+β)-1]2 +sin2 (α+β)=[cos(-β)-cosα] 2+[sin(-β)-sinα ]2
　　展开并整理得:cos(α+β)=cosαcosβ -sinαsinβ
　　③ 实现计划:
　　将上述步骤整理后,有条理地写出来,实现求解计划。引导学生注意解题步骤的合理性、完整性及表达的准确性。
　　④回顾:
　　问:能否利用别的方法写出这个结果?
　　答:试一试。
　　由上面作图方法得点P1 , P2 ,P3。以Ox轴为始边作角β,终边交圆O于点P4 ,则P4 ( cosβ, sinβ )
　　由得 =
　　(cosβ-1)2+sin2β=
　　[cosα-cos(α+β)]2+[sinα-sin(α+β)] 2
　　展开并整理得cosβ=cosαcos(α+β)+sinαsin(α+β)
　　再利用角的代换得cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsin β
　　cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsin β
　　问:比较两种方法,那种更简捷?关键步骤是什么?
　　答:方法一更简捷,其关键步骤是作出角α,-β和α+β,应用三角函数的坐标法定义。
　　问:体现了什么样的数学思想方法?
　　答:充分利用几何图形的性质去寻找数量关系,体现了数形结合思想。
　　针对本节课的教学难点,运用波利亚的“怎样解题表”中的提示语层层设疑、启发引导,充分激发了学生的学习兴趣,使他们经历知识形成的过程,发现数学的规律和问题解决的途径。
　　经验表明,教师适当运用波利亚的“怎样解题表”中的提示语,可行之有效地指导学生自学,学生运用波利亚的提示语进行启发式自我提问,也能加强对自己学习状态的认识,增强对自己学习过程的控制。一方面教师要指导学生学习运用波利亚的提示语,独立思考,自主探索,培养良好的学习习惯,另一方面学生还应当从自己的体验中提炼和总结自己的经验和体会,形成有自己风格的提示语。这对培养学生的探索能力、创造能力是有益的。
　　参考文献:
　　1.[美]G.波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京:科学出版社,1982.
　　2.罗增儒、罗新兵.波利亚的怎样解题表. 中学数学教学参考,2004(4)、(5).
　　3.涂荣豹.数学解题学习中的元认知.数学教育学报,2002 (11).
　　作者单位:重庆市大足中学