等积变形在几何题中的应用 初中数学等积变形 竞赛题

　　中考中,我们经常会遇到求阴影部分面积的题目,这些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑而成的简单图形,我们称这类图形为不规则图形,在计算它们的面积时无法直接求解,那我们用什么方法计算它们的面积呢?这时就会用到等积变形方法,以下是等积变形的几种常见形式。
　　
　　一、平移
　　
　　利用平移进行等积变形是最常见的题型之一,平移包括点平移、线段平移、整个图形平移等。
　　例1.如右图,A是半径为1的圆外的一点,OA=2,AB是圆的切线,B为切点,弦BC//OA,连接AC,求图中阴影部分的面积。
　　分析:阴影部分为不规则图形,由ΔABC与弓形组成,B为切点。连接OB、OC,如右图所示,因为BC//OA,在弓形面积不变的情况下把A点向O点平移,得到ΔABC与ΔOBC同底同高,则两三角形面积相等,那么阴影部分面积等于扇形OCB的面积。
　　再看一个例子
　　例2.从大半圆中剪去一个小半圆(小半圆的直径在大半圆的直径MN上)点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦,且与小半圆相切,AB//MN。已知AB=24cm,求阴影部分的面积。
　　分析:由于只知道了弦AB的长,所以就不可能直接求出阴影部分的面积,此时因为AB//MN,两条平行线间的距离保持不变,所以可以通过平移小半圆,使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合,然后作OC⊥AB,垂足为点C,连接OB,利用Rt△OCB就很容易得出正确答案。如右图所示,具体过程为:
　　
　　二、拆分与组合
　　
　　拆分与组合这一形式要求较高,学生必须对图形深入了解,能把不规则图形进行分解成若干规则图形,进行求解。
　　例3.如右图,两个半径为1,圆心角是90度的扇形OAB和扇形O"A"B"叠放在一起,点O"在弧AB上,四边形OPO"Q是正方形,则阴影部分的面积等于多少?
　　分析:对此图形进行拆分,拆成两个全等的扇形,再进行拼凑,如右图所示,阴影部分的面积实际等于半圆的面积减去两个正方形的面积,那此题就迎刃而解了。
　　例4.见右图:如图ΔABC中,∠C是直角,AB=12,∠ABC=60°,将ΔABC以点B为中心顺时间旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点D处,则图中的阴影部分的面积是多少?
　　分析:通过分析图形的形成过程,整个图形由扇形ABE与直角三角形ΔBDE组成,而图中的非阴影部分由扇形CBD与直角三角形ΔABC组成,则可得图中阴影部分的面积
　　
　　三、旋转与对称
　　
　　例5.矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点E,求阴影部分的面积。
　　分析:见切点连圆心,连接OE交DB于点F,△DEF与△BOF全等,且△DEF与△BOF组成了以F点为对称中心的中心对称图形,阴影部分的面积等于四分之一的圆的面积。
　　例6.如图,正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4,O为正方形ABCD的对称中心,求图中阴影部分的面积。
　　以上是等积变形常见的三种形式,这三种形式由易到难,由浅入深。在解题中,不规则图形题型多种多样,但万变不离其宗,只要同学们认真观察,冷静思考,运用等积变形的规律,不规则图形就会变得规则,复杂的问题就会变得简单。
　　作者单位:广东珠海市金湾区平沙二中