二元函数极值存在定理证法的改进 多元函数的极值定理

　　摘要：二元函数极值存在定理的证明是多元函数的导数在研究函数上的具体应用，而变量的多元性使证明变得比较复杂，笔者在教学过程中总结出了两种比较简单的证明方法，供师生在教学和学习过程中参考。
　　关键词： 二元函数极值；证明；方法；简化
　　
　　中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）03-0253-01
　　
　　定理，若函数f(x,y) 在点P(a,b) 的邻域 G内所有二阶偏导数连续，且P(a,b) 是函数f(x,y) 的稳定点。设A=fx2(a,b),B=fxy(a,b),G=fy2(a,b),Δ=B2-ACI 当 Δ0（或C >0时函数 f(x,y) 在点P(a,b) 取极小值，而当A 0时，函数 f(x,y) 在点 P(a,b)不取极值。
　　证法一 要确定f(x,y) 在点P(a,b) 有无极值，就是要考查f(x,y) -f(a,b) 在邻域G 内的符号，按照泰勒公式展开到第二项为止，由于P(a,b) 是函数f(x,y) 的稳定点，故第一项消失，我们得到 f(x,y) -f(a,b) =1[A(x-a2)+2B(x-a)(y-b)+(y-b)2]+ο(ρ)2 而且余项是比ρ=Δx2-Δy2 更高阶的无穷小，所以 f(x,y) -f(a,b) 的符号与 D=A(x-a2)+2B(x-a)(y-b)+(y-b)2的符号相同，设 x-a=h,y-b=k，则 D=Ah2+2Bhk+Ck2.
　　I. 若Δ=B2-AC0 时(h 看作变量)无论k 取何值，二次函数 D=Ah2+2Bhk+Ck2 有最小值D最小值 =k2(AC-B2)A ≥0，即 f(x,y) -f(a,b) ≥0，故 f(x,y)在点p(a,b) 的邻域 G内取极小值。同理C >0时 , f(x,y) 在点p(a,b) 取极小值。
　　(2)当A 0 ，则函数 f(x,y)在点 f(a,b) 不取极值。
　　(1)当A 、C 不同时为零，当 A>0时( h看作变量)无论k 取何值，二次函数 D=Ah2+2Bhk+Ck2有最小值 D=k2(AC-B2)A ≤0，当k≠0 时， D最小值 0 即D 在点P(a,b) 的邻域G 内变号，也就是f(x,y) -f(a,b)在点 p(a,b) 的邻域 G内变号，故 f(x,y)在点 p(a,b)不取极值，同理C >0时f(x,y) 在点p(a,b) 不取极值。
　　 (2)当 A>0 时(h 看作变量)无论k 取何值，二次函数 D=Ah2+2Bhk+Ck2有最大值D=k2(AC-B2)A≥0，当k≠0 时， D最小值 0 ，故 D在点p(a,b) 的邻域内变号，也就是f(x,y) -f(a,b) 在点p(a,b) 的邻域G 内变号，故 f(x,y) 在点p(a,b) 不取极值。同理 C>0时，f(x,y) 在点 p(a,b) 不取极值。
　　 (3)当A=0,C=0 时，D=2Bhk ( B为常数不妨设 B>0)而k 0时，D 0， h>0时， D>0； D在点P(a,b) 的邻域内变号，也就是说 f(x,y)在点P(a,b) 不取极值。
　　证法二 因为 f(x,y) -f(a,b) 与D=Ah2+2Bhk+Ck2 的符号相同，现在只考查 D的符号。
　　 I. 当 Δ=B2-AC0（或C >0）时D >0，故f(x,y) 在点P(a,b) 取极小值
　　(2)当A >0（或C >0）时D 0.
　　 (1)若A≠0 ，取h≠0 ，k=0 ，有D=Ah2 ，D 与A 同号；取h=BAk(k≠0) 有D=B2-ACA ，D 与A 异号，故 D在点P(a,b) 的邻域G 内变号，所以 f(x,y)在点 P(a,b)不取极值。
　　 (2)若A=0 ，C≠0则B≠0 ，取 k≠0 ，h=0 ，有D=Ck2 即D 与C 同号；取 h=CBk(k≠0)有 D=-Ck2>0 ，即D 与C 异号，故f(x,y)在点 P(a,b)不取极值。
　　 (3)若当A=0 ，C=0则 D=2Bhk，取 h>0 k0)则 C0 k>0 ，则D>0，故 D在点 P(a,b) 的邻域内变号，所以 f(x,y)不取极值。
　　参考文献:
　　
　　[1]东北师大数学系等，数学分析，高等教育出版社出版。
　　
　　[2]刘东琏，数学分析（第二版），高等教育出版社。