三视图的位置关系【由一道题看学生对三视图理解的误区】

　　三视图是数学新教材新增内容，是立体图形的平面化表示.教科书仅仅给出了投影和三视图的定义，举的例子也是很简单的几何体：长方体、圆柱、圆锥、圆台以及它们的简单组合体等.从学生的学习情况看，给定几何体画三视图问题不大，但是给出三视图要求还原几何体后进行面积和体积计算时，学生容易出错.纵观历年高考题，对三视图的考察恰恰侧重于后一种情形.下面举一个很典型的例子，希望对大家有所帮助.�
　　【例】 已知几何体的三视图（如图1），画出该几何体的直观图，
　　并求其表面积.�
　　
　　大多数学生的解答为:�
　　
　　图2
　　经分析该几何体为正四棱锥,如图2，其中侧棱长为3，底面正方形
　　边长为2.�
　　故S�侧=4S��△OAB�=4×12×2×(3)�2-1
　　=42,�
　　S�表=42+4.�
　　
　　分析：问题在于学生将侧面
　　三角形误看成了正视图和侧视图，这是对投影的定义理解不透造成的.�
　　
　　事实上，分析一下还原之后的正四棱锥，
　　便得到它正确的三视图应为：如图3，
　　取AB中点M, CD中点N,正视图为△OMN，
　　即过该棱锥高的中截面.
　　同理，侧视图为连接BC、DA中点与
　　顶点O得到的三角形.
　　俯视图:正方形ABCD,包含对角线.
　　�
　　图3
　　这样，正视图与侧视图中等腰三角形的腰长即为正四棱锥的斜高,�
　　故S�侧=4×12×2×3=43，�
　　S�表=43+4.�
　　教学建议：现行一些教科书未讲画三视图的一般方法,所列举的画、补画或判断三视图的例子,均在分析所给几何体的特征后,直接给出三视图.学生出现类似的错误也很正常.学生刚刚接触立体几何，空间想象能力尚未培养起来，教学时若能适时借助多媒体或实物教具便能达到事半功倍的效果.�
　　【同类练习】�
　　 1.如图4是一个几何体的三视图.若它的体积
　　是�33，�则a= .�
　　
　　图4
　　分析：该空间几何体为一个倒放着的直三棱柱，直观图如图5所示，a是侧视图的高，�
　　
　　图5
　　则V=12×2×a×3=33,
　　�故a=3.�
　　
　　2.设某几何体的三视图如图6所示（尺寸的长度单位为�m�），则该几何体的体积为 �m�3�.�
　　
　　分析：不难发现该几何体即为一个三棱锥，但是学生往往不能正确将题中数据还原到对应的几何体中.�
　　
　　图7
　　由正视图和俯视图分析得到，三棱锥侧面PAC与底面ABC垂直
　　，AC=4��m� ，再结合侧视图可知，底面AC边上的高为3��m�，三
　　棱锥的高为2��m�.
　　�故该棱锥的体积
　　�V=13S��△ABC�h�
　　=13×12×4×3×2=4(�m��3).�
　　
　　(责任编辑 金 铃）
　　
　　
　　（上接第26页）�
　　
　　鉴别两个角是不是对顶角的关键之一是两个角是
　　由两条直线相交而形成的，因为由两条直线相交保证了所形成的角有公共顶点；关键之二
　　
　　
　　是两个角的两边无公共边.如图中∠1和∠2也有公共顶点O，但它们有公共边OB，所以它们不是对顶角.�
　　鉴别两个角是不是对顶角的关键：①两个角是由两条直线相交而形成的；
　　②两个角的两边无公共边.�
　　五、比较课件制作常用的三个软件�
　　�几何画板、演示文稿PowerPoint、动画制作Flash，在数学课堂中最适合的还是几何画板.动画制作Flash较难，对我们这些初涉多媒体课堂教学的农村教师而言，有一定的难度.演示文稿PowerPoint虽然比较常用，但对数学课堂来说，制作图形、算式有些不方便，并且它的编辑和幻灯片演示属于不同的页面，在演示状态下不能对课件内容做修改，这难以满足数学课堂中经常要将题目变式、图形变形的要求，所以在演示文稿PowerPoint�中要达到这个要求往往要制成好几张幻灯片.每切换一张幻灯片，必然会造成学生思维的停顿，增加理解题意的难度.而几何画板就可以解决这个问题，它就像一个电子黑板，可以随时在上面添内容、画图形，也可以对自己原来编辑好的内容随时进行修改.通过制作动作按钮，可以将教学内容按需要隐藏或显示，一个页面可以容纳很多很多的教学内容.还可以制作一些图形的动态演示，如轴对称、中心对称、探索直线与圆的位置关系.也可以方便快捷地建立直角坐标系，绘制出函数的图形、相似图形、全等图形，方便将图形变换，利用软件中精确的计算功能探索图形的性质等等.比如：在教学人教版九年级下册第二十七章《相似三角形》的平行线分线段成比例定理及推论时，�
　　
　　 图1 图2 图3�
　　需要通过测量图1中的线段AB、BC、DE、EF的长度，计算ABBC、DEEF，比较ABBC、DEEF的大小关系，�
　　得出平行线分线段成比例定理，再将图1变式为图2、图3, 得出平行线分线段成比例定理的推论.在教学这节内容时如果利用《几何画板》测量计算功能，可以做到测量、计算准确无误，避免目测的误差影响结论的推导.另外还可以通过拖动DF，即可实现由图1到图2、3的变式，方便快捷，直观形象，这些是其他软件难以做到的，也是传统教学中难以达到的效果.�
　　
　　(责任编辑 黄桂坚）