学生头脑中的已知与未知_充分利用学生头脑中

　　【摘 要】用已知求未知是数学解题的常见思路。对于鸡兔同笼问题，教师往往采用较为固定的假设形式引导学生根据已知求解，而不少学生却使用在教师看来是从未知到已知的“凑数法”。实质上该方法遵循假设的思路，符合学生的思维发展特点。教师应挖掘解题方法的实质，找到学生解题的合理性，对学生进行有效评价和指导。
　　【关 键 词】鸡兔同笼；假设法；教师评价
　　中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1005-5843（2012）02-0156-02
　　
　　在一节小学三年级数学课上，老师正在讲鸡兔同笼问题。她先向学生出示了题目：笼子里有一些鸡和兔，每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿，它们一共有8个头、26条腿，问这个笼子里鸡、兔各多少只？
　　一名学生很快举起手，老师就让他把计算过程写在黑板上。学生的列式为：5×4=20（条），3×2=6（条），20+6=26（条），并解释道：“5只兔一共有20条腿，3只鸡一共6条腿，那么鸡和兔一共26条腿，所以有5只兔，3只鸡。”
　　老师停顿了片刻，对学生说：“用未知求已知合理吗？”学生一脸茫然，没有吱声。老师只好自己回答：“这样不合理，下面我们就一起研究怎么做这道题。”接着就开始在黑板上画表格，希望学生用列表法来解题。这名学生的计算为什么会被老师贴上“不合理”的标签呢？老师的看法是否就非常合理呢？以下从几个方面进行分析。
　　一、学生解题思路的实质――假设法
　　从题目本身来看，教师往往认为“8个头、26条腿”是已知条件，而鸡、兔的只数未知。在解题时一定要遵循用上个题目中的已知条件，通过列式求出未知量的普遍思路。因此，在教师看来，学生列式中所出现的“5”和“3”纯属无中生有硬造出来的量，自然不合理。然而，学生却未必如此理解。通过分析这个班所有学生的解答过程，发现62％的学生都采用了类似的方法，因而有必要思考学生如此作答的原因及这种思路的实质。
　　学生从题中能够读出：鸡和兔共有8个头、26条腿，但它们各自的只数未知。为解决问题，学生也许会这样想：如果确定了鸡和兔其中一种的只数，另一种的只数也就确定了。于是假设如果有5只兔，那么就有3只鸡。5只兔有5×4=20（条）腿，3只鸡有3×2=6（条）腿，一共有20+6=26（条）腿，刚好和已知条件“鸡和兔共有26条腿”相一致。所以假设成立，即有3只鸡、5只兔。当然，也有一部分学生没那么“幸运”，假设的鸡或兔的只数与上述假设不同，求得的鸡和兔的总腿数不是26条。
　　通过对学生追问还发现，学生并不认为假设的“5只兔”是未知量。有学生这样说：“我认为有5只兔，那就是有5只兔”，显然他已把兔的只数看成已知量了。既然有5只兔，那么就有3只鸡。接下来，鸡兔的腿数可求，总腿数也可求。最后将求得的腿数与已知的总腿数进行对比、检验就可以了。
　　这样就不难理解了，学生解题思路实质上是运用了假设法。他们将自己假设的鸡、兔的只数当作了已知量，将鸡和兔的总腿数当作未知量来计算。而案例中的教师没有充分理解学生这种解题思路的实质，也就没有看出它和接下来要讲授的列表法、画图法之间的关系，所以就将这种解答方法纳入“不合理”的范围了。
　　二、用未知求已知的合理性
　　在鸡兔同笼问题的教学中，教师大多使用列表法、画图法进行讲解，以求清晰直观地呈现出假设的步骤，使学生初步理解运用假设法的优点。此外，这类问题还可以设未知数，列方程解答。那么，学生的列式中显现的假设思路与这些常见解题思路之间有什么关系？这种用未知求已知的思路是否具有合理性？以下分两方面进行阐述。
　　（一）从假设法的角度理解
　　教师在使用列表法、画图法讲解时，绝对不能丢掉的词就是“假设”或“如果”。这说明表格和示意图是用来体现假设思路的形式，假设则是解题思路的实质。显然，不能只注重对形式的认同而忽略对实质的深层挖掘和理解。
　　教师用列表法先假设8个头全是兔，发现总腿数比实际多，逐步减少兔的只数，增加鸡的只数，直到假设全部是鸡为止，分别求出相应的总腿数，找到满足已知条件的答案（具体列表过程略）。
　　可见，在这里列表法是以假设法为前提的。在鸡、兔只数逐渐增加与减少的分析过程中，可以培养学生有序思考的能力，这种有序推理为学生从具体形象思维到抽象逻辑思维打下一定基础。同时，列表法也体现了从未知到已知的过程，即通过假设，把未知（鸡兔只数）当作已知，推理总腿数直至符合题意（共26条腿），再确定未知（对应的鸡兔只数），得到正确答案。这种算术法借助假设增加辅助信息，逆向解决了问题。[1]
　　画图法也是在假设的基础上进行的。教师先画8只兔，说明她假设笼中全是兔（每只身上4条腿）。与列表法相似，由于总腿数比实际多，所以要逐渐减少兔的只数增加鸡的只数（即每只兔减少2条腿），直到总腿数与已知条件相符，则答案确定。（示意图略）
　　列表法与画图法方法虽然形式不同，但本质都是假设法，这与学生直接假设5只兔3只鸡没有本质差别。解答时运用假设增加辅助信息，实质是通过把未知当作已知推理符合题意的数量关系再求得未知的过程，是从未知到已知的过程。
　　（二）从方程的角度理解
　　方程思想是重要的数学思想，它的核心体现在建模思想和化归思想。其中建模思想的本质就是用等号将相互等价的两件事情联立。[2]本题使用方程法解通常分以下步骤：先设一个或两个未知数，根据已知建立等量关系式（列方程），再利用等式性质（方程的同解原理）通过变形求出符号代表的数值（解方程）。（参见表1方程法一、二过程）。它将生活中的问题用数学模型表达，体现了高度的抽象性。对比学生的解答不难看出，学生假设的5只兔对应方程法中的x，3只鸡对应（8-x）或者y，推理总腿数对应方程同解变形（参见第三步），这说明学生已经在形式上体现了方程方法的踪迹。
　　在内容上，学生解答中的26与方程法中的26表达的含义不同。学生写的26是在假设的前提下求得的总腿数，如果假设的数据不同结果可能不同，方程法中的26是已知条件不会随意改变。可见，学生用的仅是计算的一种方法，还没有真正体现代数方法中用等号连接等价事物的建模思想。当然，从算术法到代数法还要经过很长的学习过程，如此解答是符合学生认知规律的。
　　方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。[3]这种等量关系的建立是通过设未知数把未知当作已知来表达的，再通过解方程求得未知。所以，从未知到已知的探究问题具有一定的合理性。
　　三、教师指导的针对性
　　教师在进行评价时，不能只简单地判断对与错，要发现学生言语背后所表达的意思，找到它的合理性，再进行引导与提升。案例中老师希望要传授的列表法、画图法和方程法与学生“凑数”的方法本质是一致的。教师如果认识到这一点，完全可以由学生的论述深入挖掘，引出不同形式表达同样的数学方法之一核心。还可以进一步进行对比，找到各种方式的优缺点引发一个择优的过程等等。只有充分理解学生的想法，并辅以针对性的评价与指导，学生才能体会到数学内在的、深刻的美，才会真正乐学、爱学。
　　参考文献：
　　[1]曾小平,刘长红.谈谈算术与代数的本质与区别――兼答“算术法和方程法那个重要”[J].小学教学,2011(11).
　　[2]史宁中,孔凡哲.方程思想及其课程教学设计――数学教育热点问题系列访谈录之一[J].课程教材教法,2004(9).
　　[3]张奠宙,孔凡哲等.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009(1):111.