用构造法证明不等式_构造法在证明不等式方面的应用

　　构造法是中学数学解题中常用的方法之一.本文通过具体实例，介绍利用构造三角形、一元二次方程、二次曲线以及复数等手段来证明不等式的解题思路.� 　　一、构造三角形�
　　由于三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.因而，任一三角形的三条边长形成了两个不等式.利用这一几何特征来证明不等式，常常会起到立竿见影的作用.�
　　【例1】 已知a,b，c∈R，求证：|a�2+b�2|≤|b-�c|.� �
　　分析： 如果b=c，上述等式显然成立.�
　　从整个不等式的形式上看，此不等式形如三角形两边的差小于第三边，从左边的根式看，形如直角三角形的斜边.考虑到a、b、c可正可负，可在直角坐标系中取点A(a,0),B(0,b),C(0,c)，则
　　�|AB|=a�2+b�2,�|AC|=a�2+c�2,�|BC|=|b-c|.
　　�因而，不等式得证.�
　　同时看到，当且仅当b=c时，取等号.�
　　【例2】 求证：x�2+y�2-2x+1+x�2+y�2+4x+4≥3. �
　　分析：∵x�2+y�2-2x+1=(x-1)�2+y�2，�
　　x�2+y�2+4x+4=(x+2)�2+(y-0)�2.�
　　在直角坐标系中取点A(1,0),B(-2,0),C(x,y)，结论得证.�
　　当且仅当点C落在线段AB之间时，取等号.�
　　
　　二、构造圆锥曲线�
　　对于一些含有x�2、y�2的和、差形式的多项式，可把不等式的部分式子看成是圆锥曲线的方程，利用圆锥曲线的相应性质，往往会使问题迎刃而解.�
　　【例3】 设a,b∈R ，求证：7+3≥(a-b)�2+(3-a�2+12b�2-4)�2≥7-43.�
　　分析：该不等式中间部分形如两点间的距离的平方，因而首先想方设法构造两点坐标A、B,使得|AB|�2恰为不等式的中间部分.�
　　令A(a,3-a�2)，B(b,-12b�2-4)，则
　　原不等式转化为证明：7+43≥|AB|�2≥7-43.�
　　点A在上半圆周：x�2+y�2=3(y≥0) 上，点B在双曲线x�24-y�2=1(y≤0)上，因而问题转化为：分别在上半圆周和下半支双曲线上找一点，使得这两点间的距离最短.显然，当A、B为两曲线与x轴交点的同侧时距离最短、异侧时距离最长.�
　　由于两曲线与x轴的交点坐标为A�1(-3,0),�A�2(3,�0)，B�1(-2,0),B�2(2,0),�
　　所以|AB|≤|A�1B�2|=2+3,�|AB|≥|A�1B�1|=2-3 .�
　　因而原不等式得证.�
　　【例4】 设x�2+y�2+2x＜0,求证：x�2+y�2+6x+8＞0.�
　　解：设A＝{(x,y)｜x�2+y�2+2x＜0}=｛(x,y)｜(x+1)�2+y�2＜1｝，
　　�B=｛(x,y)｜x�2+y�2+6x+8＞0｝=｛(x,y)｜(x+3)�2+y�2＞1｝.
　　 �
　　 由于A、B分别代表两个相切的单位圆的内部和外部，且A代表的是左侧的圆的内部点集，B代表的是右侧的圆的外部点集.由于在左侧圆的内部的点必在圆的外部，因而A�B，故满足A的点(x,y)必满足B，即结论成立.�
　　
　　三、构造一元二次方程�
　　
　　在解一元二次方程或一元二次不等式时，通常要用到不等式.同样，在证明某些不等式时，也经常利用一元二次方程这一有效工具.在这一类问题的证明中，一元二次方程的判别式有着不可替代的作用.�
　　【例5】 设x�i，y�i∈R(i=1,2,…,n),求证：(∑ni=1x�i)�2•(∑ni=1y�i)�2≤∑ni=1x�2�i
　　•∑ni=1y�2�i.�
　　分析：该不等式在形式上与一元二次方程的判别式非常相似.因而，只要构造一个以此为判别式的一元二次方程，问题就会十分简单.�
　　证明：因为对任意的t∈R，有�
　　∑ni=1(x�it-y�i)�2≥0,�即(∑ni=1x�2�i)t�2-2(∑ni=1x�i)(∑ni=1y�i)t+(∑ni=1y�2�i)
　　≥0,�
　　因而Δ=4(∑ni=1x�i•∑ni=1y�i)�2-4∑ni=1x�2�i•∑ni=1y�2�i≤0.
　　�
　　故原不等式成立.�
　　
　　【例6】 已知x≥134，求证：2x-3+4x-13≥3.�
　　证明：令y=2x-3+4x-13，�即y-2x+3=4x-13，�
　　两边平方得y�2+4x�2+9-4xy-12x+6y=4x-13，�
　　移项得4x�2-4(4+y)x+y�2+6y+22=0，�
　　由于函数y的定义域非空，�∴Δ=16(4+y)�2-16(y�2+6y+22)≥0,�
　　故原不等式成立.�
　　评注：本例也可以用变量代换（令u=2x-3v=4x-13），通过构造二次曲线的手段来证明.�
　　
　　四、构造单调或凹凸函数�
　　【例7】 求证 ：2�n＞2n+1(n为自然数，且n≥3).�
　　分析：视n为自变量，构造函数f(n)=2�n-2n-1 .�
　　∵f(n+1)-f(n)�
　　=2��n+1�-2(n+1)-1-（2�n-2n-1）
　　�
　　＝2�n（2-1）-2�=2�n-2＞0 (∵n≥3)，�
　　所以f(n+1)＞f(n).�
　　于是有f(n)＞f(n-1)＞…＞f(4)＞f(3).�
　　又f（3）＝2�3-2×3-1=1，�
　　故f(n）＞f（3）＞0，�
　　即2�n＞2n+1.�
　　评注：本题也可以用数学归纳法或二项式定理证明.但构造出函数f（x），利用其单调性来证明，则更简洁明了，令人耳目一新，体现了数学美中的简洁美.�
　　
　　【例8】 求证 ：|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.�
　　分析：将不等式两边的|a+b|与|a|+|b|看成一个量作比较，容易发现两边构造形式完全相同.受这种启示，我们构造一个更一般的函数形式f（x)=x1+x,x∈［0,+∞).�
　　 而函数 f（x）=x1+x 在定义域内单调递增，因为有|a+b|≤|a|+|b|,�
　　所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）. �即
　　|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.
　　�
　　
　　【例9】 证明：�log���2011�2010＞20092010.
　　�
　　证明：由于函数y=�log���2011�x在（1，2011）是一个凸函数，曲线落在过点（1，0）和（2011，1）的直线y=12010(x-1)的上方，又当x=2010时，直线的纵坐标恰为20092010，曲线y=�log���2011�x的纵坐标为�log���2011�2010.因而原不等式成立.�
　　五、 构造复数 �
　　复数集与复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,复平面内的点集与以原点为起点的向量集合是一一对应的,这些对应关系是通过建立直角坐标系实现的.因而我们可通过构造复数,利用复数有关概念、性质及其四则运算的几何意义研究代数和几何问题,让复数的知识渗透到代数和几何中,使之成为解题的一种工具.�
　　【例10】 对任意a,b,c,d，求证:�
　　a�2+b�2-c�2+d�2≤|a-c|+|b-d|.�
　　分析: 题目明显具有复数模的形式,因而可考虑构造复数.因为题目涉及四个量,所以可以尝试构造两个复数: z�1=a+b
　　i,z�2=c+di. 则z�1-z�2=(a-c)+(b-d)i，�
　　据不等式性质有||z�1|-|z�2||≤|z�1-z�2|，所以�
　　|a�2+b�2-c�2+d�2|≤(a-c)�2+(b-d)�2，�而
　　(a�2-c)+(b-d)�2≤|a-c|+|b-d|，
　　�
　　故命题得证.�
　　
　　【例11】 已知a,b,c∈R，求证：|a�2+b�2-a�2+c�2|≤|b-c|.（同例1）�
　　分析：从复数的观点来看，不等式两边都是复数模的形式.�令z�1＝a+bi,z�2=a+ci
　　，再由||z�1|-z�2||≤|z�1-�z�2|，�不等式得证.�
　　
　　问题是数学的心脏，引导学生发现问题并解决问题是中学数学教学的核心工作.美国数学家波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.”如果我们的数学教学能够引导学生从已知的条件和未知的结论表象出发，构造出解决问题的知识框架，那么我们的目的也就达到了.�
　　
　　(责任编辑 金 铃）