柯基不立耳的概率【解几、立几、概率与统计】

　　纵观全国各地的高考试题，我们不难发现创新型试题层出不穷：它们不仅立意新颖、内涵深刻，而且在求解思路上也与众不同，也是高考试题中一道亮丽的风景线．在本期里，《数学金刊》试题研究组为大家带来解析几何、立体几何及概率统计这三方面的创新试题．
　　1．如图1，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2011次跳后它将停在的点是（）
　　A．1B．2C．3D．4
　　2．A=｛1，2，3｝，B=｛x∈Rx2－ax+b=0，a∈A，b∈A｝，则A∩B=B的概率是（）
　　A．B．C．D．1
　　3．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹方程是（）
　　A．x2－y2=9（x≥0）
　　B．x2－y2=9（x≥0，y≥0）
　　C．y2－x2=9（y≥0）
　　D．y2－x2=9（x≥0，y≥0）
　　4．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图（图2）和频率分布直方图（图3）都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
　　图2图3
　　（1）求全班人数及分数在［80，90）之间的频数；
　　（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高；
　　（3）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在［90，100］之间的概率．
　　5．在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足===（如图4），将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B，A1P（如图5）．
　　（1）求证：A1E⊥平面BEP；
　　（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．
　　6．给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆”，若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为；
　　（1）求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；
　　（2）若倾斜角为45°的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M，N两点，求弦MN的长；
　　（3）若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．
　　1．由题意有5→1→2→4→1→2→4→1，从1开始，每跳3次为一个循环，又（2011－1）÷3=670，所以选A
　　2．有序实数对（a，b）的取值情形共有9种，满足A∩B=B（即B?哿A）的情形有：
　　（1）（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，3），此时B=；
　　（2）（2，1），此时B=｛1｝；
　　（3）（3，2），此时B=｛1，2｝．所以A∩B=B的概率为P=，选C．
　　3．B
　　4．（1）由茎叶图知，分数在［50，60）之间的频数为2，频率为0．008×10=0．08，全班人数为=25，所以分数在［80，90）之间的频数为25－2－7－10－2=4．
　　（2）法1：分数在［50，60）之间的总分为56+58=114，分数在［60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456，分数在［70，80）之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747，分数在［80，90）之间的总分约为85×4=340，分数在［90，100］之间的总分数为95+98=193，所以，该班的平均分数为=74；
　　法2：分数在［50，60）之间的频率为=0．08，分数在［60，70）之间的频率为=0．28，分数在［70，80）之间的频率为=0．40，分数在［80，90）之间的频率为=0．16，分数在［90，100］之间的频率为=0．08，所以，该班的平均分约为55×0．08+65×0．28+75×0．40+85×0．16+95×0．08=73．8．
　　频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为÷10=0．016．
　　（3）将［80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，［90，100］之间的2个分数编号为5，6，在［80，100］之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个，其中，至少有一个在［90，100］之间的基本事件有9个，故至少有一个分数在［90，100］之间的频率是=．
　　5．不妨设正三角形ABC的边长为3，则
　　（1）在图4中，取BE中点D，连结DF，则===，所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．又AE=ED=1，所以EF⊥AD，所以在图5中有A1E⊥EF，BE⊥EF，所以∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．因为二面角A1－EF－B为直二面角，所以A1E⊥BE．又BE∩EF=E，所以A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．
　　图6
　　（2）由（1）可知A1E⊥平面BEP，BE⊥EF，建立如图6的坐标系，则E（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0）.在图4中，不难得到EF∥DP，且EF=DP；DE∥FP，DE=FP，故点P的坐标为（1，，0），所以=（2，0，－1），=（－1，，0），=（0，0，1）.不妨设平面A1BP的法向量n1=（x，y，z），则•n1=2x－z=0，•n1=－x+y=0.令y=得n1=（3，，6），所以cos〈n1，〉===，故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为．
　　6．（1）因为c=，a=，所以b=1，所以椭圆的方程为+y2=1，伴随圆的方程为x2+y2=4．
　　（2）设直线l的方程y=x+b，由y=x+b，+y2=1得4x2+6bx+3b2－3=0．由Δ=（6b）2－16（3b2－3）=0得b2=4，圆心到直线l的距离为d==，所以MN=2=2．
　　（3）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率．因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=或x=－．当l1方程为x=时，此时l1与伴随圆交于点（，1），（，－1），此时经过点（，1）或（，－1）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=－1），即l2为y=1（或y=－1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为x=－时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=4．设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x－x0）+y0，由y=kx+（y0－kx0），+y2=1消去y得x2+3［kx+（y0－kx0）］2－3=0，即（1+3k2）x2+6k（y0－kx0）x+3（y0－kx0）2－3=0，Δ=［6k（y0－kx0）］2－4•（1+3k2）［3（y0－kx0）2－3］=0，经过化简得：（3－x）k2+2x0y0k+1－y=0．因为x+y=4，所以有（3－x）k2+2x0y0k+（x－3）=0．设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以k1，k2满足方程（3－x）k2+2x0y0k+（x－3）=0，因而k1•k2=－1，即l1，l2垂直．