[由一道课本习题谈“三点共线”问题的证明方法]

　　 人教版七年级数学（下）课本第10面第12题： 　　 如图1，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？ 　　 答案：A，B，C三点在同一条直线上，可以用以下几种方法进行证明．
　　 一、利用垂线性质
　　 分析一：注意到AB⊥l，BC⊥l，联想到垂线的性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，于是只需说明点A、C都在过点B的垂线上即可．
　　 理由：因为AB⊥l，BC⊥l，且经过直线l上一点B有且只有一条直线与已知直线l垂直，所以直线AB与直线BC重合，即A，B，C三点在同一条直线上．
　　 点评：在利用垂线的性质说明三点共线时，要抓住两条直线中的公共点（如本例中的直线AB和BC的公共点B）．
　　 二、利用平角定义
　　 分析二：注意到平角的两条边在同一条直线上，而已知条件“AB⊥l，BC⊥l”与直角有关，于是可利用平角的定义进行说明．
　　 理由：设M是直线l上的一点，延长AB至点N，如图2所示．
　　 因为AB⊥l，所以∠NBM=90°．
　　 因为BC⊥l，所以∠CBM=90°．
　　 所以∠CBN=∠CBM+∠NBM=90°+90°=180°．
　　 所以A，B，C三点在同一条直线上．
　　 点评：在利用平角的定义说明三点共线时，要注意说明哪两个角的和等于180°．如果延长CB至点P，应该说明哪两个角的和等于180°？
　　 三、利用共边且相等的两角的一边重合
　　 分析三：先看这样一个事实，如图3，∠AOB=60°，∠AOC=60°，那么O，B，C三点在同一条直线上.由此启发我们，要说明A，B，C三点在同一条直线上，如图4，只需说明∠ABD=∠CBD（设D是直线l上的一点）．
　　 理由：设D是直线l上的一点，如图4所示．
　　 因为AB⊥l，所以∠ABD=90°．
　　 因为BC⊥l，所以∠CBD=90°．
　　 所以∠ABD=∠CBD．
　　 又由于∠ABD与∠CBD有一条公共边BD，
　　 所以射线BA和BC重合，即A，B，C三点在同一条直线上．
　　 点评：本文所说的共边是指两个角有一条公共边，如图5所示，点B，C，D三点在同一条直线上，∠ABC与∠EBC有一条公共边BC，因此这两个角共边．而∠ABC与∠FCD这两个角不共边，因为∠ABC的一条边是射线BD，而∠FCD的一条边是射线CD，两条边(都是射线)的端点不同，因此∠ABC与∠FCD没有公共边，因而不能说∠ABC与∠FCD共边．
　　 四、利用平行公理
　　 分析四：注意到AB⊥l，BC⊥l，联想到“同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行”和平行公理“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，于是可过直线l上异于点B的点D作l的垂线DE．
　　 理由：过直线l上异于点B的点D作l的垂线DE，如图6所示．
　　 因为AB⊥l，DE⊥l，所以AB∥DE．
　　 因为BC⊥l，DE⊥l，所以BC∥DE．
　　 又因为经过直线DE外一点B有且只有一条直线与DE平行，所以直线AB与直线BC重合，即A，B，C三点在同一条直线上．
　　 点评：在利用平行公理说明三点共线时，仍然要抓住两条直线中的公共点（如本例中的直线AB和BC的公共点B）．
　　 以上四种方法是从正面入手说明问题，其实也可以从反面入手进行说明．还记得这样一道判断题吗：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．此题若从正面入手判断，确实棘手．我们可以这样想：假设这两个角是对顶角，由对顶角的性质易知这两个角必然相等．而已知条件是“两个角不相等”，由此我们可以断定这两个角不是对顶角，即原命题正确．在这个问题中，“从反面入手说明问题”帮了我们的大忙！上面的问题如果从反面入手说明也非常简捷.
　　 假设A，B，C三点不在同一条直线上，因为AB⊥l，BC⊥l，这样经过直线上一点B就有两条直线与已知直线l垂直，这与垂线性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，也就是说假设不成立．
　　 所以，A，B，C三点在同一条直线上．
　　 说明三点共线问题是几何学习中的一个难点，同时也容易被同学们忽视，因为一些几何题目需要说明三点共线，而不少同学往往不知从何说起，或干脆不予说明．通过本文提供的方法，相信对同学们会起到一个抛砖引玉的作用．