分数指数幂的运算法则 [对分数指数幂概念的进一步分析]

　　 　　新课标高中数学必修一教材阐述了分数指数幂的概念，可是很多高中学生，甚至有些数 　　 　　学教师对其概念理解不是很透彻，因此对分数指数幂的概念有必要进一步分析.�
　　
　　首先我们来看教材上分数指数幂的概念.
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　　（1）规定正数的正分数指数幂的意义是
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　　a��mn�=na�m （a＞0,m,n∈N�*, n＞1)；
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　　（2）正数的负分数指数幂的意义是�
　　a��-mn�=1a��mn�（a＞0, m, n∈N�*, n＞1)；�
　　
　　（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.�
　　
　　那么负数有没有分数指数幂呢？�
　　例如，①能比较(-1)��13�与(-1)��26�的大小吗？�
　　②求幂函数f(x)=x��13�的定义域，自变量x能取负数吗？�
　　这些问题容易使人产生困惑.因此深入理解分数指数幂的概念是必要的.�
　　
　　1.所有的根式都可以写成分数指数幂的形式，�
　　即na�m=a��mn� （ m, n∈N�*, n＞1).�
　　也就是说分数指数幂是根式的另一种书写形式，只要根式有意义，不论a为何值，都可以写成分数指数幂的形式.但是要注意的是此时指数mn是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数.不能比较分数指数的大小，也不能进行约分、通分等运算.�
　　例①中比较(-1)��13�与(-1)��26�的大小时，不能简单认为因为13=26，所以(-1)��13�=(-1)��26�.�
　　正确的做法是先还原成根式，再化简后比较大小.�
　　解：∵(-1)��13�=3-1=-1，
　　�(-1)��26�=6(-1)�2=1，�
　　∴(-1)��13�＜(-1)��26�.
　　�
　　例②中：∵f(x)=x��13�=3x，
　　�∴函数的定义域为R.�
　　2.在分数指数幂或有理数指数幂运算时，我们要强调底数a必须大于0，
　　 否则就会出现错误.�
　　例如化简 ［(-1)�2］��12�=（-1）��2×12�=（-1）�1=-1 ，而这一结果显然是错误的，正确结果应为1.�
　　究其原因，分数指数mn只是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，当然不能参与运算.�
　　当底数a＜0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果有很大的差异.�
　　当底数a＞0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果完全一致.此时指数mn与传统意义上的分数作用效果是相同的.这时把指数mn认为是普通分数是合理的.�
　　所以有理数指数幂运算时，我们必须强调底数a大于0.�
　　
　　
　　(责任编辑 金 铃）