含有绝对值的不等式的解法 浅析含有绝对值问题的常见解法

　　在近几年各大省市的高考题中，常会遇到含有绝对值这一类型的问题，而绝对值问题是中学数学中相当活跃的问题，对中学生来说确实是个难点，这就需要掌握含有绝对值问题的常见解法.因此,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题的关键.笔者根据教学实践归纳整理出几种常见的方法，现介绍如下.�
　　一、 “去”绝对值�
　　含有绝对值的问题与一般问题，主要区别在于多了个绝对值符号，所以在求绝对值这类问题时，要想办法去掉绝对值，而在去绝对值的解法中，方法很多，其中常用的方法有以下两种.�
　　1. 利用分类讨论的思想方法，将含有绝对值的问题转化为不含绝对值的常见问题�
　　【例1】 已知函数f(x)=x�2-2|x|-1.�
　　（1） 试判断函数f(x)的奇偶性；�
　　（2） 求函数f(x)的单调区间�
　　分析：（1）因为f(-x)=(-x)�2-2|-x|-1=x�2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)为偶函数.�
　　（2）当x≥0时，f(x)=x�2-2x-1；当x＜0时，f(x)=x�2+2x-1.�
　　 作出函数图象（略），由图象可以得到：�
　　 函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞);�
　　 函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(0,1).�
　　练习：函数f(x)=9-x�2|x+4|+|x-3|的图象关于 对称.（选填x轴、y轴、原点对称）�
　　（这道题先求出函数的定义域，根据定义域,去掉绝对值.答案：y轴）�
　　2. 利用平方的方法,将含有绝对值的问题转化为不含绝对值的常见问题�
　　【例2】 解不等式x�2-1＞|x-1|.�
　　分析：因为不等号的左右两边都为非负数，所以直接平方得x�2-1＞(x-1)�2且x�2-1≥0，解得不等式的解集为｛x|x＞1｝.�
　　这两种类型的问题，体现了如何去绝对值，在实际解题中应根据问题给出的实际条件，选择适当的方法进行求解.�
　　二、 “添”绝对值�
　　求解有些含有绝对值的问题，还可以逆向思考.如果先“添”上绝对值,再“去”掉绝对值，将会起到事半功倍的效果.�
　　1. 利用x�2=|x|�2的关系，“添”绝对值�
　　【例3】 已知直线y=1与曲线y=x�2-|x|+a有四个交点，求a的取值范围.�
　　分析：如果直接去掉绝对值，应该分当x≥0时，y=x�2-x+a;当x＜0时，y=x�2+x+a
　　这两种类型分别与y=1有两个不等实根，且要确保这四个实根互不相等.这样求解，显得过程很繁.如果先“添”绝对值得到y=�|x|�2-�|x|+a，要满足y=1与曲线y=|x|�2-|x|+a有四个交点，这就需要方程|x|�2-|x|+(a-1)=0中的�|x|有�两个不等的正实根，从而x就有四个不同的实数根.�
　　 由题意得|x|�2-|x|+(a-1)=0，�
　　即|x�1|+|x�2|=1＞0，�|x�1||x�2|=a-1＞0，�Δ=1-4(a-1)＞0.
　　
　　�
　　解得a的取值范围为1＜a＜54.�
　　2.利用偶函数的性质f(-x)=f(x)=f(|x|)，“添”绝对值�
　　【例4】 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间［0,+∞）上是单调递增函数，若f(1)＜f(�lg�x)，求x的取值范围.�
　　分析： 因为f(x)在区间［0,+∞）上是单调递增函数，且x∈R.�
　　由于�lg�x不一定大于或等于零，但|�lg�x|≥0，�
　　所以f(1)＜f(|�lg�x|) ，即1＜|�lg�x|，�
　　有�lg�x＞1或�lg�x＜-1，�
　　所以x的取值范围为x＞10或0＜x＜110 .�
　　 练习：已知偶函数f(x)在区间［0,+∞）上是单调递增函数，求满足f(2x-1)＜f(13)
　　的x的取值范围.�
　　（ 答案：(13,23)）�
　　这两种类型的问题的解法，体现了如何添绝对值，添上绝对值后再根据函数和不等式的性质，运用数学中的数形结合和化归思想很轻松地解决含有绝对值问题.�
　　 总之，在求解含有绝对值的问题时，是先“去”还是先“添”绝对值，则需要同学们结合问题的具体条件，准确地选择恰当的方法，使得问题求解简捷、方便.�
　　(责任编辑 金 铃）