一道解几题的求解之路 博人之路10道题

时间:2019-04-13 05:10:34 来源:QQ空间素材网 本文已影响 QQ空间素材网

  几乎所有的考生都害怕解析几何,但解析几何是每年必考的题,看来突破解析几何这一瓶颈便成了一大重点.仔细分析每年的高考题,我们会发现解析几何题具有很强的规律性,在每一个题中总是若隐若现地出现那种“看似无形却有形,犹抱琵琶半遮面”的情景,与其大量地去做题,把自己累得喘不过气来,还不如对每一个题都认真分析一番,发现规律,找到共性,这才是事半功倍的做法.
  题目:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N.
  (1)求E的方程;
  (2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
  该题为2010年高考四川卷第20题,文理相同,第1问是以人教社A版选修2-1P59例题5改编的,第2问是圆锥曲线的一个性质,带有数学探究的意味,考查解析几何的通性通法,考查直线、轨迹方程、双曲线的定义以及直线与双曲线的位置关系等基础知识,考查平面解析几何的思想方法和推理运算能力.
  解法探究
  第1问入手容易,我们很快给出了答案x2-=1(y≠0),但多数同学漏掉了y≠0,这是我们在求解轨迹问题时容易犯的错误,复习中应予以重视.
  对于第2问,同学们感觉问题比较熟悉,是一个直线与双曲线位置关系的综合问题,求解的基本思路是:将直线方程代入双曲线方程,围绕所得的一元二次方程的根,运用“设而不求、整体代入”的思路来解决.
  思考:对于待证结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”,如何转化?
  回答:转化为⊥,即•=0.
  顺着这一颇为自然的思路走下来,有了下面的解法,只是运算比较烦琐.
  解法1:①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0),与双曲线x2-=1联立消去y,得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0.由题意知3-k2≠0且Δ>0,设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
  y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=k2-+4=-.因为x1,x2≠-1,所以直线AB的方程为y=(x+1),M点的坐标为,,=-,,同理可得,=-,.因此•=-2+=+=0.
  ②当直线BC与x轴垂直时,方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3),AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为,,=-,,同理可得=-,-,因此•=0.
  综上•=0,即⊥.故以线段MN为直径的圆经过点F.
  反思:在研究直线与圆锥曲线位置关系的问题时,若用点斜式和斜截式方程,要考虑斜率是否存在.若不能判断,则要讨论;也可以改变直线方程的形式,避免讨论.
  如上所述,我们得解法2,根据题目条件可设直线BC方程为x=ty+2.
  解法2:因为直线BC与x轴不平行,故可设直线BC的方程为x=ty+2,联立方程x2-=1,x=ty+2,消去x,整理得(3t2-1)y2+12ty+9=0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=,x1+x2=-,x1x2=-.由解法1,•=+=+=0,综上,•=0,即FM⊥FN.故以线段MN为直径的圆经过点F.
  至此,问题虽得到解决,解法2较解法1有所改进,但本质没变.
  著名的数学教育家波利亚说过:“没有一道题是可以解决得十全十美的,总剩下些工作要做,经过充分的探讨与钻研,总会有点滴的发现,总能改进这个解答,而且在任何情况下,我们能提高自己对这个解答的理解水平.”
  对于问题,一定要对条件、结论进行分析、研究和转化,从不同的角度和层面去认识它.我们已经将结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”转化为•=0,那么结合题目条件和图形特征,能进行不同的转化吗?
  注意到A,F关于直线l对称,结合双曲线的对称性,要证⊥,只需证AM⊥AN,即AB⊥AC.
  解法3:由解法2得,y1+y2=-,y1y2=,•=(x1+1)•(x2+1)+y1y2=(ty1+3)•(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=++9=0,所以AB⊥AC,即AM⊥AN.又A,F关于直线l对称,所以∠MFN=90°.故以线段MN为直径的圆经过点F.
  既然只需证AB⊥AC,设BC的中点为Q,利用直角三角形的性质,只需证明BC=2AQ.
  解法4:由解法3,并设BC的中点为Q(x0,y0),则y0==-,x0=ty0+2=-,AQ2=(x0+1)2+y20=,BC2=(t2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]=,所以BC=2AQ,所以AB⊥AC,即AM⊥AN.又A,F关于直线l对称,所以∠MFN=90°.故以线段MN为直径的圆经过点F.
  解法4中出现了弦的中点,对于涉及弦的中点的问题,都可以用点差法来解决,此题能用吗?由此得到解法5.
  解法5:设B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点为Q(x0,y0),则x21-=1,x22-=1,两式相减,得•=3,从而k=kBC===(x0≠2).因此,y20=3x20-6x0,此式对x0=2也成立.AQ2=(x0+1)2+y20=(x0+1)2+3x20-6x0=(2x0-1)2.设B,C到直线l的距离为d1,d2,则易得2d1=2x1-1,2d2=2x2-1,BC2=(2d1+2d2)2=(2x1-1+2x2-1)2=4(2x0-1)2,所以BC=2AQ,所以AB⊥AC.又A,F关于直线l对称,所以∠MFN=90°.故以线段MN为直径的圆经过点F.
  大多数解析几何问题最终都被转化成了代数问题,因此运算量大.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,更是数与形的统一、代数与几何的结合,因此,充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征,灵活运用曲线的定义、性质等知识,也会大大地简化运算,优化解题过程.那么,此题可以用几何方法来证明吗?另外此题中涉及双曲线第二定义,第二定义在此题中作用何在,难道仅仅是为了给出双曲线的方程吗?请同学们想一想.
  经过思考,借助前面提到的A,F关于直线l对称,有如下解法.
  解法6:如图1,过点B作准线l的垂线交FM的延长线于点D.过C作准线l的垂线交FN的延长线于点E.所以∠MFA=∠BDF,∠NFA=∠CEF.
  图1
  因为A,F关于直线l对称,所以B,D关于直线l对称,C,E关于直线l对称.由已知FB,FC为B,C到直线l距离的2倍.所以FB=BD,FC=CE,所以∠BDF=∠BFM,∠CEF=∠CFN.所以∠MFA=∠BFM,∠NFA=∠CFN.因为∠MFA+∠BFM+∠NFA+∠CFN=180°,所以∠MFA+∠NFA=90°,即∠MFN=90°,所以以线段MN为直径的圆经过点F.
  结合图形,如果能证明NF平分∠AFC,FM平分∠AFB,由∠AFC+∠AFB=180°可得∠MFN=90°.
  要证NF平分∠AFC,根据角平分线定理,只需证=,为此过C作CC1⊥l,垂足为C1,利用双曲线第二定义及平行线的性质可得到结论.
  解法7:如图2过B作BB1⊥l,垂足为B1,过C作CC1⊥l,垂足为C1,则CC1∥x轴,所以=.
  图2
  由双曲线第二定义可知,=,所以=,所以FN平分∠AFC.同理,FM平分∠AFB.又∠AFC+∠AFB=180°,所以∠MFN=90°,故以线段MN为直径的圆必经过右焦点F.
  反思、提炼
  在数学上,遇到一个真正触及数学本质的题目时,要停下匆匆的脚步,认真感悟一下,欣赏一下,这样在你的头脑中会留下很多的沉淀.当类似的情况在今后再发生的时候,你的沉淀迅速地激活,你的思路大开,便多了很多帮手.接下来让我们对上述解法进行总结,理清思路、提升认识.
  解法1、2由以线段MN为直径的圆必经过右焦点F,得到⊥,即•=0出发,这是解析问题的常规做法,是我们必须要掌握的方法.
  解法3、4、5的关键是能得到A,F关于直线l对称,但有局限,是针对此题的一种特殊解法,但能起到简化运算的作用.
  解法6、7充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征,灵活运用曲线的定义、性质等知识,揭示了问题的几何本质,证法简洁漂亮,值得我们深思.
  变式、拓展和推广
  对一个数学问题的探究思考,最基本的切入点就是要对题目的条件和结论加以多角度的思考,对问题进行推广、变式、拓展.为此,提出以下问题,供同学们课后研究.
  问题1:能将此题一般化并推广到圆、椭圆、抛物线中去吗?给出解答.
  问题2:根据此题条件,编拟新的题目并给出解答.

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