【浅析高中数学中的导数】高中数学导数公式

　　 摘 要：导数在现行的高中数学教材中处于特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。
　　 关键词：导数；应用；函数
　　
　　 一、高中数学课程中开设导数及其应用的必要性
　　 微分学是微积分学的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量由微小变化时，函数大体上变化多少。二者虽有区别，但联系紧密。高中学生在学习函数时，主要掌握函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性。而这些性质都可以通过函数的图象表示出来。因而，较为准确地做出函数的图象就显得尤为重要。如果学生所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以做出图象。若要遇上较为复杂的函数，仅用描点法就很难奏效。但学习导数及其应用之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；可以利用极限观点找出其是否有水平渐近线和垂直渐近线。这样就很快地做出函数的图象。
　　 导数一旦与函数、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的研究。导数使我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。
　　 二、在代数中的应用
　　 1.对导数几何意义的考查
　　 很好对于导数的几何意义的考察是对导数基础的突出。掌握导数基础对研究导数很重要。
　　 例1.已知函数f（x）=x2+bx+c的顶点在第四象限，则其导数f′（x）图象大致是（ ）
　　■
　　 分析：这是考查求导法则，函数图象与x轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考查导数的意义。由图象可知b＜0且f′（x）＝2x+b，因此函数是增函数且在y轴截距小于零，故选A。
　　 评论：本题旨在突出导数与极限的联系，突出对基础知识的考查。
　　 2.判断函数的单调性求函数极值或最值
　　 最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它涉及到高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握。应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
　　 例2.已知函数x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0。（1）求m与n的关系表达式；（2）求f（x）的单调区间；并写出极值点。
　　 分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第（1）小题根据极值点处导数为零，可确定m与n的关系；第（2）小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然。
　　 解：（1）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+n
　　 由x=1是f（x）的一个极值点，知f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，∴n=3m+6。
　　 （2）由（1），得f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+5=3m（x-1）[x-（1+■）]
　　 由m＜0知，1＞1+■x，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下：
　　■
　　 由上可知，在区间f（x）和（1，+∞）和（-∞，1+■）上递减，在区间（1+■，1）上递增。极值点如表。
　　 3.证明不等式
　　 例3.已知定义在正实数集上的函数f（x）=■x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0，且b=■a2-3a2lna，求证f（x）≥g（x）。
　　 解：设F（x）=g（x）-f（x）=■x2+2ax-3a2lnx-b则F′（x）=x+2a-■=■（x＞0）∵a＞0，∴当x=a时，F′（x）=0，故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数，于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）-g（a）=0，故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）。
　　 4.证明组合恒等式
　　 例4.求证：c1n+2c2n+3c3n+…+ncnn=n×2n-1
　　 分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式（1+x）n；然后对二项式进行求导，得到n（1+x）n-1=c1n+2c2nx+3c3nx2+…+ncnn=n×2n-1；最后令x=1，就可以得到我们要证的等式。
　　 证明：（1+x）n=c0n+c1nx+c2nx2+c3nx3+…+cnnxn
　　 对上面等式两边求导，得
　　 n（1+x）n-1=c1n+2c2nx2+3c2nx2+…+ncnnxn
　　 令x=1，得n・2n-1=c1n+2c2n+3c2n+…+ncnnx
　　 原题得证。
　　 5.讨论方程解的个数
　　 例5.a∈R，讨论关于x的方程lnx=ax的解的个数。
　　 分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做。先作一条与曲线相切的直线y=kx，求出k的值；再根据a的取值范围，讨论方程lnx=ax的解的个数。
　　 解：依题意可知，方程lnx=ax的解的个数就是直线y=lnx与曲线y=kx的交点的个数，设直线y=kx与曲线y=lnx相切于点P（t，lnt）则kt=lnt。
　　 ∵（lnt）=■
　　 ∴■=k，kt=1=lnt
　　 ∴t=e，k=■
　　 四、解决应用问题
　　 例7.如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k（k＞0）。
　　
　　 ∴θ=60°时水槽的流量最大。
　　 点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题的时候要注意这一方法的应用。随着高考命题改革的不断深入，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不断提高解题能力
　　 总结：导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了三个方面。现在我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学的新发展将会有进一步的了解。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，可以解决许多问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容，为我们进一步的学习打下了坚实的基础。
　　 （作者单位 安徽师范大学2011级数计学院研究生）