[种子与珍珠]初学者水草缸造景教程

　　一、疑惑 　　教学完长方体的体积的计算后，有这样一道习题： 　　题1：一个包装盒，如果从里面量长28厘米，宽20厘米，体积为8.4立方分米。爸爸想用它包一件长25厘米、宽16厘米、高18厘米的玻璃器皿，是否可以装下？
　　学生在解决这个问题时，大多是从比较体积的大小入手：25×16×18=7200（立方厘米）=7.2（立方分米），因为8.4立方分米>7.2立方分米，所以可以装下。多数学生认为，只要包装盒的体积比玻璃器皿的体积大，就可以装下。经过统计，在我校223名五年级学生中，大约有95%的学生都是这样认为的。可实际上，8400÷28÷20=15（厘米），根本装不下。
　　这样的一个数学问题，竟然有那么多的学生都走入了误区。
　　二、思考
　　这是什么原因呢？第一，学生刚刚学完长方体的体积计算，在思考和体积有关的问题时，就会不由自主地用体积公式进行计算，这是一种思维定势。第二，学生的思维中还没有形成如何把玻璃器皿装入包装盒的空间想象，也就是说学生在立体图形的空间观念的建立上仅仅是初步的。在这两个原因中，最根本的原因应该是第二个。学生对于立体图形的空间想象能力比较弱，所以思维定势就会对其造成一定的干扰。
　　学生在一年级的时候就已经认识了长方体和正方体，为什么到了五年级对于立体图形的空间想象能力还是那么弱呢？我通过对前面的教材进行了研究后发现，在教材的安排中，类似的问题在五年级上册的“多边形的面积”这个单元“整理与复习”后的练习十九中的思考题（见题2）出现；在与教材配套的课堂作业本中，在“三角形的面积”一课的课后也曾出现（见题3）。
　　题2：（1）右图是用手工纸剪的一课小树，
　　它的面积是多少？（单位：cm）
　　 （2）用一张长45 cm、宽21 cm的手工纸，
　　能剪几棵这样的小树？
　　题3：某班要做一些如右图所示的直角三角
　　形小红旗，一张长1.2m、宽0.8m的长方形红
　　纸能做这样的小红旗多少面？
　　题2、题3这两道题很有代表性，题3中的小红旗做下来刚好，没有剩余的纸；而题2的剪小树则有剩余的纸，不能单纯地考虑面积之间的关系。
　　如果把这3道题按题3、题2、题1的顺序串起来看的话，知识点的层次性马上就出来了。学生在这类问题的解决上其实是经历了一个从平面图形到立体图形这样一个发展过程的，从教材的习题编排就可以窥见一斑。那么，学生的这个难点能不能分散开来，提前在平面图形的教学中渗透呢？
　　三、尝试
　　带着这样的思考，在新一轮的五年级中，我们进行了尝试。把作业本中的题3放到 “多边形的面积”这个单元的复习课去解决。
　　以一个班的教学为例，教师首先出示如下题目。
　　题3：某班要做一些如右图所示的直角三角形小红旗，一张边长为0.6dm、宽0.6dm的正方形红纸能做这样的小红旗多少面？（为方便学生的操作，改变了一下数据）
　　教师先让学生自己动手操作画一画、剪一剪，在学生感性认识的基础上，再让学生用数学方法解答。学生都能计算：0.6×0.6=0.36（平方分米），0.2×0.3÷2=0.03（平方分米），0.36÷0.03=12（个）。
　　接着，教师出示变式：“某班要做一些如右图所示的直角三角形小红旗，一张长0.8dm、宽0.7dm的长方形红纸，能做这样的小红旗多少面？”学生有的陷入思考，有的忙于计算，还有的在画草图……
　　一部分学生有些茫然，因为用长方形的面积除以三角形的面积除不尽，有余数；一部分学生发现了玄机，跃跃欲试。
　　师：哪位同学觉得有困难，可以和大家交流一下。
　　生1（困惑地）：老师，我发现用长方形的面积除以三角形的面积除不尽。
　　生2：老师，我刚才也是这样除不尽，后来发现不能这样做。我们刚才在第一题时已经剪过了，如果在这道题也去剪的话，剪下来还有多的！
　　生3（激动地）：是的，是的，我画过了，剪不完的，还有多的。这个是要画一画的，我画出啦，还是12个！
　　生4：是的，是12个！
　　生5：错了，可以剪16个！
　　师：这可奇怪了，为什么用长方形的面积除以三角形的面积除不尽呢？请同学们自己再画画图或者剪一剪吧！
　　（学生进行活动…… ）
　　生6：我知道了，在0.8 dm的地方剪0.3dm只能剪两个，还有剩余的。
　　生7：是的，两条边都有剩余的，不能剪完。不能剪完的时候就不能用长方形的面积去除以三角形的面积。只有刚好可以剪完的时候，才可以用面积除以面积！
　　生（激动地）：对的，对的，只有刚好剪完，才能除！
　　师：同学们真棒，自己动手发现了这个知识！刚才有同学争论，有的说能剪12个，有的说能剪16个，你们说说是几个？
　　（教师把学生不同想法的草图投影在大屏幕上，见下图，让学生自己说说是怎样想的）
　　师：是在0.7dm的地方剪0.2dm好，还是0.8dm的地方剪0.2dm好呢？
　　生8：在 0.8dm的地方剪0.2dm好，因为刚刚好，没有剩余。
　　生9：对！0.8dm的地方剪0.2dm好，没有多余，而且0.7dm的地方不管剪0.2dm还是剪0.3dm都有多的！
　　师：看来，剪的时候还要有方法呀！
　　生10：老师，我觉得要先看看哪条边剪得刚刚好，就先剪，再剪有多的。
　　师：说得真好，同学们听明白了吗？我们来试试吧！将一个长40cm、宽12cm的长方形纸片，剪成长6cm、宽8cm的长方形小纸片，能剪几个？说说怎么剪？并列式计算
　　（学生开始探究）
　　生11：我是这样剪的，从40cm里剪宽8cm，从12cm里面剪6cm，都刚刚好。所以，我可以用大长方形的面积除以小长方形的面积，即40×12=480（cm2），6×8=48（cm2），480÷48=10（个）。
　　生12：老师，我的剪法和他是一样的，但我的算式和他的不一样。5×2=10（个），因为从40cm里剪宽8cm可以剪5个，从12cm里面剪6cm可以剪2个。
　　师：哎，听明白了吗？他是从长和宽剪的个数上来研究的。这也是一种很好的方法！
　　师：刚才我们研究过的：某班要做一些如右图所示的直角三角形小红旗，一张长0.8dm、宽0.7dm的长方形红纸能做这样的小红旗多少面？ 在不能正好剪完的情况下，我们不能用长方形的面积除以三角形的面积，刚才是通过画一画知道可以做16面，如果长方形的长变成80m，宽变成70m呢？再去画一画你觉得方便吗？
　　（这个问题给了学生极大的挑战：对呀，像这样的情况能不能列出算式来呢？几个学生踊跃地站了起来：可以列出来的！可以的！）
　　生13：用4×2×2就可以了！
　　生14：对！0.8dm里面能剪4个0.2dm，0.7dm里面能剪2个0.3dm，这样剪出来的是长方形，一个长方形里面又有两个三角形，所以可以用4×2×2=16（个）。
　　对于生14精彩的回答，学生们都不由自主地给他鼓掌！
　　通过一系列的操作活动，学生有了具体的感知，形成了解题策略。这样一来，再解决课本上的思考题就水到渠成了。
　　四、效果
　　有了平面图形中的铺垫与渗透，我在教学五年级下册长方体的体积计算后，把教材中的题1安排在当堂作业的练习中，发现约有89%的学生都能算出包装盒的高进行比较。只有11%的学生通过体积去比较。看得出，把平面图形作为突破口，果然取得了喜人的效果，大多数学生能对题目产生一些空间想象。还有少数学生的空间观念还是比较弱，还需要教师以后不断地培养。
　　同时，对此内容，我又在练习课中安排了一道变式练习，继续拓展延伸：一个包装盒，如果从里面量长25cm，宽18cm，体积为7.65dm3。爸爸想用它包一件长17cm、宽16cm、高24cm的玻璃器皿，是否可以装下？
　　五、反思
　　1．平面图形是立体图形的基础。
　　学生空间观念的培养，学生的空间想象能力，一直是小学数学空间与图形教学中的难点。而这种隐形的能力，教师一般无法很直观地看到，往往只能从学生的练习中观察出来。数学知识的体系是阶梯形螺旋上升的，前面学习的知识会影响到后面学习的知识。从知识本身而言，如果学生的脑海中一片空白，让学生对立体图形的摆放有一个空间想象，那是非常困难的。空间想象力的最重要的因素就是“表象”，没有生动平面图形的表象，就很难建立立体图形的表象。归根结底，要想解决好这个问题就要从平面图形入手，平面图形是立体图形的基础。如果学生能对平面图形有了比较好的空间想象能力，那么，他们对立体图形的想象就不会是空中楼阁般地虚无缥渺。
　　所以，基于这样的思考，这个难点的突破就应该在平面图形上，通过平面图形的操作，就可以提前孕伏，降低难点。从教学实施的效果来看，学生通过对平面图形的画画、剪剪、想想，产生了具体的表象，就可以对平面图形进行生动的想象。而这种想象力也能比较容易地迁移到立体图形中来，产生对立体图形的具体表象。
　　2．操作――体验，学生空间观念培养的基石。
　　众所周知，人的脑海中各种各样的想象，源于生活中形形色色的各种事物在人脑中的表象。1000个读者的心中有1000个哈姆雷特，不同的人有着自己不同的体验和想象。学生要对抽象的立体图形产生形象的想象，就必须建立在充分的体验和感知上。动手操作最能带给学生最形象、最直观的体验。
　　在本案例中，在操作上，学生先是剪一剪，最直观地看到长方形里面剪出三角形；接着，慢慢地上升为让学生画一画，在纸上把实物抽象成图形；最后在脑海中形成表象。在学生的认知冲突上，教师先让学生参与分层活动，使学生逐步地丰富并完善自己的空间观念，为后面长方体体积的学习打下坚实的基础。
　　正因为有了体验，在后续的学习中，多数学生都能够触类旁通，对于长方体的问题能迎刃而解，自然地想到要考虑包装盒的高能不能容纳玻璃器皿的高。
　　3．解决数学问题，需要建模。
　　在本案例中，教师是通过建立数学模型来解决这一类的问题。教师先是选择了平面图形中的实际问题，把它转化为初步的数学模型，同时寻找适当的数学工具来解决问题――在剪一剪、画一画等操作中体验；在长方体体积的教学中再一次完善数学模型，解决了课本中的习题后，又进行了变式练习，让学生感知：有时候变化一下玻璃器皿的摆放方向就可以把玻璃器皿放入包装盒。
　　建模其实也是学生自我建构的过程。通过模型的变化，通过各种各样的变式，学生的认知结构才能不断地完善。建模的过程需要教师不断地提供具有代表性的素材，让学生通过数学模型的建立，在解决这类平面、立体图形中的容纳问题时能有一个理性的全方位的思考，能够灵活地解决生活中的实际问题。那么，这样的建模就真的非常有意义。
　　4．隐性的种子比显性的珍珠更需要教师的“慧眼”。
　　在本案例中，学生的错误带有共性，不是一个学生的错误，而是约95%的学生的错误。这样的普遍性就一定有研究的必要。研究好了，就不是解决了几个学生的问题，而是解决了一批学生的问题。
　　研究什么？有些教师着重以这道题为载体，进行了拓展，取得了良好的效果。我也曾经在杂志上看到，一位教师把包装盒的这道题挖得很深、讲得也非常透彻。
　　可反思一下，教师不仅仅要“治标”，更重要的是要分析问题产生的原因――寻找隐性的种子，从而“治本”。从整个知识点的脉络上来看，因为平面图形的教学没有给学生直观的感知，所以很多学生在这一块的空间想象力缺失了。如果在教学类似的平面图形中的问题时没有操作，没有体验，学生又哪里来的感知与想象呢？
　　在本案例中，在平面图形中的渗透和突破好比种子，种子不一定闪闪发光，不见得赏心悦目，可它是生命，有活力。一粒珍珠再漂亮也是一粒珍珠，它缺乏活力，难以生长。种子可能长成参天大树，可能吐出万紫千红，更可能变成一串美丽的珍珠项链！
　　隐性的种子比显性的珍珠更需要教师的“慧眼”，也对教师提出了更高的要求，需要教师对小学阶段数学知识的体系有更深的了解，更加关注教科书、作业本、课堂，更善于思考，更善于发现！
　　有的教师重视种子，有的教师喜欢珍珠，但是我更喜欢种子！
　　（责编 蓝 天）