[寻求反例的思考方法]不思考的反例

　　 摘 要：近年来有一类新颖的试题，它列出若干个似真实假的命题，要求辨明真假，并对判断作出证明。解答这类试题实际上都归结为寻求反例。 　　 关键词：寻求反例；二分法；题设数量关系讨论法
　　
　　 近年来，在国内外的一些数学考试和竞赛中，常常可以看到列出若干个似真实假的命题。要求辨明真假，并对判断作出证明。解答这类试题实际上都归结为寻求反例。
　　 例如：下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则，举出反例。
　　 命题1 若P、Q是直线L同侧的两个不同的点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q，且与直线L相切。
　　 命题2 若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，则logab+logba≥2
　　 命题3 设A、B是坐标平面上的两个点集，C1={（x，y）│x2+y2≤12}。若Cl∪A∈Cr∪B，则必有A∈B。
　　 那么，怎样寻求反例呢？下面介绍几种寻求反例的思考方法。
　　 一、二分法
　　 所谓寻求反例，就是要找出满足题设又使题断不成立的情况。为此，应当把满足题设的所有情况恰当地进行分类，然后逐类进行考察，仔细判定题断在所考察的情况下是否成立。由此找出不成立的情况，便求得反例。这是寻求反例的一般思考方法，称为“分类考察法”。
　　 一般的说，对满足题设的所有情况进行分类时，宜采用“二分法”。所谓二分法，就是把满足题设的所有情况分为两类，使其中一类具有某种属性，而另一类不具有这种属性。如果第一类情况能使题成立，则考察第二类情况。拿前面三个命题来说：
　　 先看命题1。在题设条件下，P、Q两点与直线的位置关系可以分为两类：（1）过P、Q两点的直线与L相交；（2）过P、Q两点的直线与L平行。
　　 容易发现在后一类情况下，即PQ∥L时，通过P、Q且与L相切的圆只有一个（如图1），于是便得到反例。
　　 再看命题2。为了便于分析问题，利用对数换底公式，先将题断改写成logab+1/logab≥2，在题设条件下，logab的取值情况可以分为两类：（1）logab＞0；（2）logab＜0。
　　 显然，在后一类情况下，恒有logab+1/logab＜0＜2，即logab