巧作辅助圆,妙解几何题 几何素描

　　【摘 要】数学教学是中小学教学的重点，也是很多学科的基础，讲求的是逻辑推理，原理定理的运用，其中在中学教学中圆的运用很重要，文章就中学数学教学过程中辅助圆在解答几何题中的运用，主要以例题为主进行分析。
　　【关键词】辅助圆；几何；数学教学；圆
　　
　　
　　有一类几何问题，表面上纯属直线型问题的题型，而利用直线型的有关知识解答很繁杂，甚至有的很难找到解决问题的思路和途径，如果对题设进行认真分析，仔细观察图形，可挖掘题设中所蕴含的内在条件潜力，其中有与圆的知识相关联的背景条件，巧添辅助圆，沟通与圆的内在联系，为解题提供了新的途径，把圆的有关性质在解题中适用，可化繁为简，化难为易。
　　下面举例予以说明。
　　例一：如图一，等腰△ABC中， AC=BC，∠C=70°，点P在△ABC的外部，且与C点均在AB的同侧，如果BC=PC，那么∠APB=_____
　　分析：显然，条件中有BC=PC=AC，由圆的定义可知，B、A、P三点在以C为圆心，BC为半径的圆上。
　　解：以C为圆心，BC为半径作图
　　∵BC=PC=AC
　　∴B、P、A三点在圆上
　　∴∠APB=∠ACB=×70°=35°
　　例二：如图二，在ABC中，AB=AC=7cm，点P是BC边上的一点，AP=5cm，求BP・CP的值。
　　分析：若以A为圆心，AB为半径作圆，则可构成相交弦的结构特征，可直接求BP・CP的值。
　　解：以A为圆心，AB为半径作圆，双向延长AP分别交圆于M、N，可知，AN=AM=AB=7cm，由相交弦定理得：
　　BP・CP=PM・PN=（AM-AP）（AP+AN）=（AB-AP）（AB+AP）=AB2-AP2=72-52=24
　　例三：如图三，四边形ABCD， AB//CD，AB=AC=AD=a，BC=b，求BD的长。
　　分析：注意题设AB=AC=AD=a，易知：B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此，添辅助圆，一下打开了思路，使隐蔽在题中的关系跃然纸上。
　　解：以A为圆心，AB为半径作圆，延长BA交圆于E，连DE，易知∠BDE=90°
　　∴CD//AB
　　∴ED=BC=b
　　在Rt△BDE中，BD==
　　例四：如图四，在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，求证：a2-b2=bc
　　分析：此题虽没有明显构成圆的条件，但由角的倍数关系和半径相等的条件，可将条件进行转化，构成切割线定理的结构特征。
　　解：以C为圆心，CA为半径作圆C，交AB于D，分别交BC及其延长线于E、F，连结CD。
　　∵CD=CA，A=2∠B
　　∴∠1=∠A=2∠B
　　∴∠B=∠2
　　∴BD=CD=b
　　由切割线定理可得：BE・BF=BD・BA，即（a-b）（a+b）=bc
　　∴a2 -b2=bc
　　以上例题，都是直线型的题型，但其中隐含有圆的知识痕迹，通过认真分析，仔细观察，深入挖掘题中的潜在条件因素，巧添辅助圆，利用圆的有关性质，可以转化解题思路，达到事半功倍的效果。对于思维的灵活性和创新能力的培养也有重要的作用。