[梅森素数漫谈]梅森素数

　　摘 要：梅森素数是一种特殊的素数，它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学研究的热点与难点之一。自从这一素数提出之后，尤其是在GIMPS项目的帮助下，梅森素数的探究取得了重大进展。文章就有关梅森素数的研究情况做一简要的介绍。
　　关键词：梅森素数，周氏猜测，网格技术，GIMPS
　　中图分类号：N04；O24 文献标识码：A 文章编号：1673-8578(2012)01-0055-03
　　
　　Introduction on Mersenne Primes
　　ZHANG Sibao LI Jianan
　　Abstract: The Mersenne prime is a special kind of prime. It is an important element of number theory, and also one of the hot and difficult points of today"s scientific research. Since the prime has been presented, the relative studies have been made significant progress under the project of Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). This paper gives a brief introduction to Mersenne primes.
　　Keywords: Mersenne primes，Zhou conjecture，grid technologies，GIMPS
　　
　　 2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森•史密斯通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，发现了迄今已知的最大梅森素数243112609-1，该数也是目前已知的最大素数。这个巨数有12978189位；如果用普通字号将它连续写下来，长度可超过50公里！这一重大成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一，排名在第29 位。英国《新科学家》杂志认为这一素数的发现是数学研究和计算技术中最重要的成果之一［1］。
　　一 什么是梅森素数
　　梅森素数对于许多人来说，是个陌生的名词。但近几年来，梅森素数却频频出现在主流新闻媒体和学术刊物中。众所周知，素数也叫质数，是在大于1的整数中只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。千百年来，神秘的素数吸引着许许多多的数学家的浓厚兴趣。2300年前，古希腊数学家欧几里得用反证法巧妙地证明了素数有无穷多个，并提出有些素数可写成“2P-1”的形式，其中指数P是素数。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡儿、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森（Marin Mersenne）是其中成果较为卓著的一位。
　　梅森在欧几里得、费马等人的有关研究基础上对2P-1型的素数做了大量的计算、验证工作，并于1644年提出了著名的“梅森猜测”；其工作极大地激发了人们研究这种素数的热情，成为素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会（ICM）就将“2P-1”型的素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)。
　　2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数新奇而迷人，因此有着“数学宝库中的明珠”的美誉。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。值得一提的是，在所发现的47个梅森素数序列中，至今只确定了前41个梅森素数的位次。
　　二 艰辛的探究历程
　　梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，用试除法巧妙地证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已。法国大数学家拉普拉斯的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
　　在“笔算纸录”的年代，人们历尽艰辛，才找到12个梅森素数。而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。1952年，美国数学家拉�尔•鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数。
　　梅森素数的探究不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息；《芝加哥论坛报》还把这一消息头版头条来报道。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳，这一做法一直延续到1976年该系数学家证明著名的“四色定理”为止。
　　素数的分布时疏时密很不规则，而特殊素数――梅森素数的分布更加无序。加上人们尚未知梅森素数是否有无穷多个，因此探究梅森素数的重要性质――分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为艰难。英、法、德、美等国的数学家都曾分别给出过有关梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都是“近似”的，没有准确的表达式，都在实践中显出了瑕疵，折戟沉沙。
　　中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者――他联想到“费马数”的形式，运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表达式；后来其猜测在1995年被国际数学界命名为“周氏猜测”，并收录进肯帕博士主编的《数学中的著名难题》一书。美国数论专家巴拉德博士和加拿大数论专家P.里木伯姆教授认为：这一成果是素数研究的一项重大突破。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒•塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上［2］。周氏猜测的提出已有近20年，目前人们需要做的是破解这一难题。
　　网格(grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初，美国数学家和程序设计师乔治•沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用；这就是闻名世界的GIMPS项目，也是全世界第一个基于网格计算的项目。现在，只要在GIMPS的主页下载为一个名为Prime95的免费程序，就可以立即参加GIMPS项目，踏上持续了千年的梅森素数探寻之旅。至今人们通过该项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前，世界上有180多个国家和地区超过23万人参加了这一项目，并动用了45万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。
　　三 梅森素数的意义
　　对于梅森素数的寻找之旅已经历经千年，在数学家们和爱好者的眼里，它们的价值远胜于钻石。梅森素数在当代具有十分丰富的科学意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；其探究推动了“数学皇后”――数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅里叶变换的应用。
　　梅森素数的最新意义是：它促进了网格技术的发展；而网格技术是一项应用非常广阔、前景十分诱人的高新技术。另外，梅森素数还可用来测试计算机硬件运算是否正确［3］。
　　由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。英国顶尖科学家马科斯•索托伊甚至认为：梅森素数探究可以挑战人类科技与智慧极限，其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。
　　梅森素数的发现和研究工作，对于解决哥德巴赫猜想、计算机技术进步等等都具有很大的推动作用，在其发现和研究过程中所衍生出来的数学新方法、新理论，更是具有重大的科学意义。
　　
　　参 考 文 献
　　［1］陈琦，章平.数学珍宝――梅森素数［J］.百科知识，2009，（15）：22.
　　［2］林强，惠来.周海中：语言学家的数学情怀［N］.科学时报，2011-09-07(5).
　　［3］张四保.梅森素数研究综述［J］.科技导报，2008，28（18）：88-92.