确定事件和不确定事件 分清“确定事件”与“不确定事件”是正确求解概率的前提

　　学完概率以后，或许会产生这样的疑问：是不是每一个确定的事件都有一个确定的概率？答案是肯定的。出现上述疑问的原因是受几何概型中貌似“确定事件”（“贝特朗问题”）的影响。在分析具体事件的概率时，分清该事件为“确定事件”还是“不确定事件”，是一个至关重要的判断环节。当给“不确定事件”加上一定的限制条件后，就变成了“确定事件”，其概率就随之确定了。所以，“确定事件”具有确定的概率，“不确定事件”需要说明在什么样的条件下具有多大的概率。下面就两道例题作说明。�
　　一、貌似“确定事件”实为“不确定事件”�
　　图1
　　例1.如图1所示，在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长超过该圆内接等边三角形的边长3的概率是多少？�
　　这一事件看起来是一“确定事件”，实际上由于没有明确弦上的某一点在圆内（或圆上）出现的可能性，所以上述事件是“不确定事件”，因而具有多种可能的概率。现给弦上的点加上一定的限制条件，使其变为“确定事件”，满足几何概型的前提条件之一是每个基本事件发生的可能性是一样的，即“等可能性”。于是就有如下的一些可能：�
　　条件1：弦的端点在圆周上均匀分布�
　　任何弦交圆两点，不失一般性，先固定其中一点A在圆周上，以此点为顶点作一等边三角形ABC，如图2所示。显然过A点的弦只有落△ABC内，即D点落在弧BC上才满足要求，而D点跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率为1/3。�
　　条件2：弦的中点在直径上均匀分布�
　　弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，如图3所示。因为弦垂直于一条直径，当且仅当它与圆心的距离（图3中的CO）小于1/2时，其长度才大于3，因此所求概率为1/2。�
　　条件3：弦的中点在圆内均匀分布�
　　弦长被其中心唯一确定，当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时，弦长大于3，如图3所示。此小于圆的面积为大圆面积的1/4，因此所求的概率为1/4。�
　　 图2 图3 图4
　　当然，还可以加上其他一些限制条件。从上面的计算结果可以看出，在回答例1中事件的概率时，必须要指明所加的条件，否则就无法回答。�
　　二、貌似“不确定事件”实为“确定事件”�
　　例2.一弹簧振子做振幅为A的简谐运动，试求振子出现在－A/2＜x＜���A/2区域内的概率。�
　　
　　如图5所示，弹簧振子在MN之间运动。从学生的答案中，可归纳为下面两种情况：�
　　图5
　　（1）振子在MN之间按空间均匀分布，此时的概率为1/2。�
　　（2）振子在MN之间按时间均匀分布，此时的概率为1/3。�
　　当把这两种情况公布后，有的学生立即认为，这两种情况都有可能，例2的事件为“不确定事件”。�
　　上述两种情况，是不是都成立？若对简谐运动的过程（振子的位移随时间的变化关系如图6所示）很清楚，就不会有上面情况（1）出现。时间是“均匀流逝的”，弹簧振子在MN之间的运动只能是“在时间上均匀分布”，即情况（2）反映的是实际情况。因此，例2为“确定事件”，概率为“在一个周期内，振子经过－A/2＜x＜A/2的时间t与周期T之比”，如图6所示，可得结果为1/3。�
　　图6
　　从上述两个例子可以看到，要确定某一事件的概率，需要明确该事件是“在时间上均匀分布”还是“在空间上均匀分布”，“在时间上均匀分布”（如例2）的事件为“确定时间”，其概率是确定的。“在空间上均匀分布”的事件可能为“确定事件”，也可能为“不确定事件”（如例1），需要针对具体情况分析其概率。�
　　（作者单位：江苏省连云港外国语学校）