已知极限值求参数 巧用最值求参数

　　我们经常遇到这样一类问题：不等式ax�2+bx+c >0(a>0)对任意x∈R恒成立的充要条件是什么？一般这样考虑：由二次函数f(x)= ax�2+bx+c >0(a>0)图像知，所求为Δ=b�2-4ac0(a>0)的最小值大于0，才有Δa恒成立的充要条件是y���min��>a；�（2）f(x)　　现举数例加以说明.�
　　【例1】 不等式x�2+2x+a>0对于一切x∈［1,�+∞）�恒成立，求实数a的取值范围.�
　　解：由x�2+2x+a>0得a>-x�2-2x,�设 f(x)=-x�2-2x，�
　　∴a>f(x)���max��, 当x∈［1,+∞）时，不难求得�f(x)���max���= -3，∴ a>-3为所求.�
　　【例2】 设x>1，试求使不等式k�log��2x＜�log��2�2x-�log��2x+2恒成立的实数k的取值范围.�
　　解：由原不等式恒成立得k＜�log��2x+2�log��2x-1恒成立.因x>1,故�log��2x>0 ,�log��2x+2�log��2x≥22 （当且仅当�log��2x=2�log��2x，即x=22时取等号）.故(�log��2x+2�log��2x-1)���min��=22-1,即k 0，y>0，不等式x+y≤ax+y恒成立，求实数a的最小值.�
　　解：显然a>0.由题意a≥x+yx+y
　　恒成立，则x+yx+y的最大值小于等于a.而(x+yx+y)�2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2（当x=y时取等号），故x+yx+y的最大值为2，a≥2，即a的最小值为2.�
　　从以上几例可以看出，解这类“恒成立”问题的技巧是：首先将参数分离，然后通过讨论其中不含参数的一边的最值，从而求得参数所满足的范围.�
　　但有些不等式含的参数不便于直接分离出来，这时只要所构造的函数在给定区间上可求最值，同样可以利用这种思想策略加以探讨.�
　　【例4】 已知不等式4x�2-4ax+a�2+2a-1≥0在区间［0，1］上恒成立，求实数a的取值范围.�
　　解：据题意构造函数f(x)=4x�2-4ax+a�2+2a-1=4(x-a2)�2+2a-1，则原不等式在［0，1］上恒成立的充要条件是函数f(x)在［0，1］上的最小值f(x)���min��≥0.�
　　① 当a22.�
　　综上所述，所求的a的取值范围为a≤-2-1或a≥12.�
　　合理准确地分类讨论二次函数在闭区间上的最值，是解决这类题的重要手段和技巧.�
　　
　　(责任编辑 金 铃）