[画图] 手机在线画图

　　华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”与“形”矛盾的统一。画图是学生解决问题的重要策略。它通过图形把抽象问题具体化、直观化，达到使学生理解题意和正确地解决问题的目的。因此，教师引导学生掌握通过画图来解决问题是非常重要的。
　　一、抓住“问题”，引发学生画图的需要
　　马斯洛的需要层次理论认为，人类最高层次的需要就是自我实现需要，它主要是满足个体把各种潜能发挥出来的一种需要，如不断地追求成功、较好地解决问题等。用画图的策略解决问题，首先要引发学生画图的需要。教师可根据实际问题，引领学生自然而然地产生“这道题看来应该画一画图”的想法以及相应的做法。学生在理解题意有困难时，面对抽象的文字一筹莫展时，看到冗长的文字信息厌烦时，都会产生画图的需要。
　　1．化繁为简。
　　如：“梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”教师在学生读题后问：“光看题中的文字叙述，你感觉怎样？”学生回答：“感觉这里面的关系有点乱，有点繁琐，一下子想不出什么办法来。”教师紧接说：“确实是这样，那可以用什么方法帮助我们更清楚地理解题目所给的信息呢？”当学生的“第一感觉”得到教师的尊重时，学生画图的动机和需要也随之产生了。
　　2．化抽象为形象。
　　心理学研究表明：人们对学习材料的编码有形象编码和语义编码两种，如果一个材料不仅有形象编码又有语义编码，则是双重编码。小学生的思维处于由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的阶段，运用形象和语义的双重编码策略能取得事半功倍的效果。如一道判断题：“一个长方形花坛，长和宽都增加10米，面积就增加100平方米。”在学生读完题后，教师问：“要知道增加的图形是什么形状该怎么办呢？是边长为10米的正方形吗？”学生很快就动笔画起图来，化抽象为具体、化深奥为浅显、化枯燥为生动，学生通过画图很容易就理解了抽象的数学知识。
　　二、抓住“根本”，培养学生画图的能力
　　所谓表征就是用某一种形式，将事物和想法重新呈现出来，以达到交流的目的；当其所表现的意义能切实掌握后，表征可进一步地成为思维的材料，从而把问题简单化。关于解决问题策略的表征方式，一般认为其主要通过命题网络、产生式、图式等方式表征的。画图就是根据数学问题画出实物简图、示意图、矩形图、树形图、集合图、线段图等直观图形表达题意，以帮助学生正确地把信息进行加工，正确地审题、分析和检验，从而使数学问题得以顺利解决的策略。
　　1．在知识的混沌中画图――释疑。
　　心理学家莱什指出：“图像表征是指当物体消失而能在心中制作原物的影像作为思考的材料，在低年级的学生当中常见的图像表征就是画圈。”如一年级有这样一题：“一列队伍，小方从前往后数排在第六个，从后往前数排在第七个，这列队伍一共有多少人？”学生往往简单地列式为6+7，而混淆了基数和序数这两个概念的最本质特点。教师在此时就应该及时引导学生：“我们不妨来画一画这一列队伍的每一个小朋友，一个小朋友就用一个小圆圈代替，大家试一试！”学生在教师的带领下，逐步画出了一幅意思非常明确的圆圈图（如下），再涂上颜色，学生自然而然就会明白错误所在了。
　　2．在算理的探究中画图――明理。
　　心理学家加涅在认知性数学技能的形成过程中认为，可以创设各种情境促进迁移，即促进一种智力技能向更高一级技能迁移。如整数乘法技能可作为从属技能向分数乘法技能迁移。如教学“分数乘整数”时，教师先出示一道简单的习题：“做一朵黄花用4分米黄绸带，做3朵这样的绸花，一共用几分米黄绸带？”当学生说出算式4×3和想法后，教师再出示例题：“做一朵红花用十分之三米红绸带，做3朵这样的红花，一共用几分之几米红绸带？”教师在创设情境后，即刻借助长方形线段图（如下）来帮助学生思考。在图的帮助下，学生很容易就理解了分数乘整数的意义以及算理。
　　
　　×3＝++＝＝＝
　　3．在思维的困惑中画图――解惑。
　　问题表征是人们在解决问题时所使用的一种认知结构。问题表征的质量影响着问题解决的难易程度，甚至是问题能否成功解决的关键。在波利亚的“解题表”中就含有“画张图”“你能不能重新叙述这个问题”“你能不能用不同的方法重新叙述它”这类与表征有关的启发式策略。例如：“小明原有一些画片，送给小军一半还多1张后，还剩18张。小明原有多少张画片？”对于这里的“一半还多1张”，虽然很多学生能够用言语来进行表征，即“先送出去一半，又送出去1张”，但这种表征形式对于处在以具体形象思维为主的小学生来说，实在是太抽象了，结果往往也令人困惑。学生在解答时总会犯这样的错误，即“18×2+1或（18-1）×2”。看来，学生的问题表征并没有落到实处。于是，教师不妨提醒：“你能不能用不同的方法重新叙述它，理解它呢？画张图如何？”学生会画出类似如下的矩形图或线段图，这样的表征更加直接指向问题的实质，形象地凸显了问题的数量关系，于是困惑也就迎刃而解了。
　　
　　三、抓住“关系”，体现画图的作用
　　在解决问题中，画图策略主要利用图形的直观，从而搜寻到解决问题的思路和方法，是一种具体化的思维方式。在教学解决其他问题的策略时，画图也可穿插交替使用，以帮助学生更好地理解数量间的关系。但画图只是一种手段，而不是解决问题的目标。因此，教师在画出示意图后，引导学生通过示意图观察信息之间的关系，寻求数量之间的关系，才是正确地解决问题的关键。
　　如在“解决问题的策略――替换”一课中，由于本课涉及的数量关系比较复杂，让形象思维占主导地位的小学生进行抽象思考，难度较大。线段图不仅可以表示任何具体的数量，而且简洁直观。学生内隐思维操作比较难理解的三个核心问题“怎么替换”“替换后的份数”“替换后的总量”，通过线段图的物化操作跃然纸上，从而对替换策略中变与不变的数量关系理解得更为透彻。
　　例如：“王叔叔买了3本《成语故事》和5本《儿童文学》，一共花了50元。一本《成语故事》比一本《儿童文学》贵6元，《成语故事》和《儿童文学》的单价各是多少元？”
　　师：《成语故事》和《儿童文学》的单价是什么关系呢？（相差关系）
　　师：如果让《成语故事》替换成《儿童文学》，该怎么替换呢？该怎么画线段图呢？
　　生1：一本《成语故事》替换成一本《儿童文学》，就必须去掉6元。（演示划去6元）
　　师：一本换好了，对吗？其实，我们在换的过程中已经有一个错误产生了，谁能看出来？
　　生2：50-1×6。（若学生回答不出，教师可以问：“把1本《成语故事》替换成一本《儿童文学》，总价还是50元吗？为什么呢？”）
　　师：现在换第二本，这本《成语故事》也要――（去掉6元）哪里又要变了？（演示：50-2×6）
　　师：现在你会计算了吗？
　　师：如果是《儿童文学》替换成《成语故事》呢？总数又会发生什么变化？先自己试着画一画，然后交流。
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　　教师把枯燥的讲授过程变为动态的探索过程，使学生亲历、感受、体验策略的形成过程，使学生在画线段图中发现、感悟、理解、解决问题，让课堂成为学生展示自我的天地。
　　四、抓住“反思”，提升画图的策略
　　解决问题策略的学习实质上表现为一种程序性知识的学习。因此，其学习过程主要经过命题的表征(陈述性知识)阶段，然后经过在相同情境和不同情境中的应用，转化为产生式表征(程序性知识)阶段，最后认识到一套操作步骤适用的条件，达到反省认知阶段。只有到达了最后的反省认知阶段，解决问题的策略才有可能在跨情境中广泛迁移。
　　策略应是超越具体问题而存在的。学生所形成解决问题的策略从具体问题中来，对具体问题还存在着一定的依赖性。但是，随着学习的深入，教师应引导学生超越具体问题，通过呈现 “不同题材”“不同结构”的问题，帮助学生在不断变换的具体问题背后去寻找不变的东西，也就是策略。这样，学生所获得的有关解决问题的策略才可能是具有普遍的适用性，也才是真正的策略。
　　对于每一环节的教学，教师都要注重引导学生反思。例如，在用画图策略解决行程问题的教学中，在教学例题后，我让学生回顾解题过程。学生发现是画图帮助我们很快地解决了问题，初步体会到画图也是一种解决问题的策略。在“试一试”教学中，我结合画图问学生：“你们在思考时是根据文字信息想的，还是看示意图想的？”这样让学生深刻体会到画图是解决问题的有效策略，对画图这一策略产生好感。在练习中，学生通过不同类型“两个运动物体在同一个地点相背运动”“两个运动物体在两地相向运动、相背运动”的变式练习，自发借助画图解决问题后，进一步加深了对应用策略价值的体验，从而在以后解题时自觉使用。
　　（责编 蓝 天）