【关于小数除法数学建模的思考】 小数除法

　　最近，我在教学中遇到了一道五年级“小数除法”中的应用题：师傅0.5小时织布7.2米，是徒弟每小时织布米数的1.2倍。徒弟每小时织布多少米？本来认为没什么太大难度的题目，学生的解答却出乎我的意料之外。以下是部分学生的解答：①7.2×0.5=3.6（米）， 3.6÷1.2=3（米）；②7.2÷1.2=6（米）；③7.2×2=14.4（米）， 14.4÷1.2=12（米）；④7.2÷0.5=14.4（米），14.4÷1.2=12（米）。
　　我对学生这几种做法做了如下分析：第一种做法的错误原因是，学生根据已知条件0.5小时织布7.2米，知道要先求出师傅每小时织布的米数，并隐隐感觉到肯定是比7.2米大，在这些学生的潜意识里乘法是使结果变大，因此，他们想到了用乘法来计算；第二种做法的错误原因是，学生误把7.2米直接当成了每小时师傅的织布米数来进行计算；第三种做法正确，通过跟这些学生谈话，我了解到这部分学生能感觉到0.5小时是1小时的一半，所以7.2×2就相当于求出了师傅每小时的织布米数；最后一种做法也正确，但这部分学生实际上也说不清楚为什么用7.2÷0.5来求每小时师傅的织布米数。
　　结合上述学生的错误，我们不难发现学生无法弄清三个关键的问题：（1）一个数（0除外）除以0.5，为什么会变大？（2）为什么7.2÷0.5会表示每小时师傅的织布米数？（3）这个算式的直观算理意义到底是怎样的？学生对这三个问题看似明白，实则对其内在的、本质的意义并不清楚。回顾我们在教学“一个数（0除外）除以比1小的数，商比原数大”这个规律时，教师一般是通过举出几个除法算式，让学生纵向比较其中的变量和不变量，进而发现这个小数除法规律，再通过学生自己举例验证，最终确认了这个规律的正确性。这样通过举例验证发现规律的教学方法，看似科学，然而实际上学生的思维只是被教师牵着走，没有形成对该规律的深层本质意义认识。因此，学生在小学阶段长达4年的计算学习中对于乘法和除法已经产生了根深蒂固的错误认识，即大部分刚刚进入五年级的学生总认为乘法就是让一个数变大，除法就是让一个数变小。
　　由于小学生的认知水平大都处在形象阶段，如果没有关于算理本质直观的认识，让学生经历从直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，就很难被学生真正认同。那么，怎么破解这个教学难题呢？让我们一起来回顾一下学生从一年级开始是如何学习加法和减法计算的。当学生学习1+1=2时，教师们往往会摆出一些学生熟悉的实物，例如，摆苹果，当教师摆出：在1个苹果旁再放上1个苹果。学生能直接说出“是2个苹果”。因为有了具体的实物模型，学生很容易理解了算理，从而掌握了加法；接着，教师在2个苹果中拿走一个苹果，学生进而掌握了减法2-1=1。到了二年级，学生们通过将相同的事物摆放在一起求和，发现用连加写起来比较麻烦，从而发现并掌握了表内乘法；再从把具体事物平均分中认识了表内除法。由此不难看出，对于整数部分的加减乘除运算，学生理解起来没有问题，其原因是基于学生对于加减乘除运算的算理意义比较清楚，四种运算中的任何一种都可以通过具体的实物模型展示出来，这对学生掌握这些抽象知识起到了重要的作用。因此，在计算教学中，我们不应该只把注意力放在训练学生计算的准确性上，而应该回归算法的本源，让学生明白一个数（0除外）÷0.5的直观算理意义，帮助学生构建出相对应的数学模型。这对于让学生真正掌握小数除法有着非常重要的意义。
　　然而，“一个数（0除外）除以小于1的数，除数是小数”是无法用实物展示的，又怎么让学生自己形成对算理意义的认识呢？我们一起来看看对于这个简单的初等代数算式，不同学段的教师又是怎么做的呢？在初中函数教学中，教师通过反比例函数y=k/x图像的特点构建出了相对应数学模型（图1）。学生通过观察函数图像很容易发现，当K>0时，就以K=6的函数图像为例，在第一象限中，通过双曲线函数图像学生可以直观发现y随着x的变小而逐渐变大，特别x小于1之后，随着x的继续变小，y趋向于无穷大。在小学六年级分数除法计算教学中，例如，教学2÷时，教师通过画线段图的办法（图2），让学生明白了2÷=2÷2×3。即先求出小时行了多少千米，然后解决1小时走了多少千米。通过观察以上两个学段的教学，我们不难看出，随着数学知识的越来越抽象，我们的计算教学也由原来的实物模型展示演变发展成了构筑“简单数学模型”。学生通过直观的数学模型，采用数形结合的方法理解起算理来也自然要容易得多。
　　但是，对于没有学习过分数乘除法和函数图像知识的五年级学生来说，无法采用平均分等方法来解释，面对7.2÷0.5这个算式，具体表示怎样的数学模型无疑将是一个非常困难的事。然而，聪明的学生通过画相对应的线段图发现了蕴涵其中的数量关系，也能做出第③种算法，但这只是学生通过观察线段图发现的数量之间的倍数关系，还是没有真正理解一个数（O除外）除以0.5的具体算理意义。这时，教师们往往利用公式：师傅每小时的织布米×织布时间=织布总米数，将这个公式进行变形――师傅每小时的织布米=织布总米数÷织布时间，让学生明白了第④种算法。然而，这种方法带有死记硬背的味道，也无法形成真正的算理认识。经过一番思考，我从小数除法的竖式中找到了灵感，做出了自己的尝试。如下：
　　从上图不难看出，在计算除法时，我们利用商不变的规律把除数0.5和被除数7.2都扩大了原数的10倍，小数除法直接转化为整数除法72÷5，在这转化过程中，线段图中原先代表0.5小时织布7.2米的线段由1段扩大变成了10段，再将10段平均分成5份，每一份所代表的线段则刚好表示1小时的织布米数了。由此可见，通过转化的方法，我们同样能够利用线段图帮助学生构建出7.2÷0.5的直观算理模型，这有助于加深学生对于除数小于1的小数除法的意义认识。
　　在数学学习的过程中，学生会经历由形象思维过渡到抽象思维的发展过程。随着数学学习的深入，数学的相关知识会越来越抽象，教师教学需要立足于学生原有的认知起点，抓住数学本质的东西及其关系，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，帮助学生构建出直观容易理解的数学模型，进而借助形象思维和抽象思维的相互作用，加深学生对于算理本质的深层理解。综上所述，在教育改革的关键时期，如何在课堂中帮助学生进行数学建模，促进学生思维由直观认识向抽象思维发展，值得我们每一位教育工作者深入研究。
　　（责编 蓝 天）